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Carlo Severi ni 
ìMkmoria 1\'.J 
dite successioni in/itti/e di fnn.z-ioni delle lurr/ah/l/ reali x ed definite rispelti- 
vainenle nei^l' intervalli finiti (_n, h), (c, d), sontniatnlì insiente ni loro quadrati, e 
tali che si abbia : 
I ' ^ 0 se /// = a 
/ p (X) U,n ix) U„ ix) dx ^ 
, ,i 1 se Ili ~ il , 
I I 0 se Hi ~ n 
/ (Ì iy) K, (y) v„ (y) dy 
. 1 se ni — il , 
ove p (x) e. q(y) sono due fnnsioni deterniinate per ciascnna eoppia di successioni (1) 
e (fi), niisnrabili , limitale ed aventi entranibe un limile inferiore may,cfiore di sero. 
Nel rettangolo K limitalo dalle rette x — a, x b, y = c, y — d sia definita min 
fiinsione f(x, y'', sommabile insieme al sito (/nadrato ; e se esistono solnsioni ef- 
fetlive [che non siano cioè ad integrale, niillo) delle equa -sioni : 
I p ix) 0 (.r) C/i (:r) d.v ~ 0 ih — ì /2, . . . . , x ) 
I [ q (3^) ■'( (3’) ^niy) i<ly — ^ (A’ = l, 2, , 00 ) 
si abbia : 
r P 0i33’) ^ (^'^■) = 0 , 
J a 
per ogni v% pel quale la f (x, y) è linearmente integrabile rispetto ad x nell’ inter- 
vallo (a, b), ed analogamente 
q {y)f{x,y)r^ (y) dy — 0, 
per ogni x, pel (inule la ffx, y) è linearmente integrabile rispetto ad y nell' inter- 
vallo (c, d). 
Sotto tali ipotesi la serie doppia ; 
U4) 
X a? 
y y U„ (X) V„ (!'), 
I I 
B 
li,h 
Ir la ^ Cv)/(x, y) Uu (x) Fft ( 3 -) dx , 
supposta convergente , rappresenta nel campo W, fatta al pia eccesione per i punti 
di un insieme di misura (superficiale) nulla (*), la fnnsione data l‘(x, y). ad essa 
lendendo in egnal grado, se si esclndono i punti di mi' insieme, la cui misura 
è minore di mia qnanlitii, positiva, arbitrariamente scelta. 
(*} È ben naturale che possano fiire eccezione i punti di un insieme di misura superficiale nulla, giac- 
ché mutando la f{x. v) nei punti di un tale insieme, non mutano per questo i coefficienti della serie (14). 
