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Sulle equazioni funzionaii 
Nota I. di CARLO SEYERINI (*) 
In questa Nota ed in altre, che pubblicherò quanto prima, mi propongo di applicare ad 
alcune classi di equazioni funzionali un metodo già da me usato nel caso delle equazioni 
differenziali. {**) Tale metodo consiste nel sostituire ad una data equazione funzionale una 
successione infinita di equazioni funzionali, che da quella si deducono, rimpiazzando le 
funzioni in essa contenute, supposte continue, mediante polinomi razionali interi, i quali 
ne diano una rappresentazione via via più approssimata; e nel mostrare che all’equazione 
proposta soddisfa ogni funzione limite della successione formata colle soluzioni delle equa- 
zioni così ottenute. Queste presentano minori difficoltà, e possono anche, ove si proceda 
per approssimazioni successive, risolversi mediante serie di polinomi razionali interi, con- 
vergenti in egual grado. La loro considerazione permette inoltre in vari casi di togliere 
qualcuna delle condizioni, che con altri metodi si è condotti a porre. 
Considererò dapprima equazioni del tipo Volterra; in seguito estenderò le proprietà 
per queste stabilite ad equazioni del tipo Fredholm. 
1. Sia dato il sistema di equazioni: 
= .A ( , Sn, {x) ) + / g-i ( X, 3^ ( v), (y) ) (iy 
■'.Vu 
= .A ( X, a-i (x), . . . , (x) ) + f 3Ò -^1 0'), . • . , iy) ) dy 
Jxq 
ì 
g„. ( X, 3', (3'), . . . , (y) ) dy 
ove le : 
\ 2 ) f r (X, ì • • • 1 '*«() 1 gi j y’) ^ i ì '*2 » • • • > ^m) 1,2 ,..., lìl) 
s’intendono funzioni reali, ad un valore, delle variabili reali x,y, 3 ^^, 3 ^, finite, as- 
solutamente continue, nel campo : 
(3) I X— X(, \^a, I v-Xo \ s— | ^ b (/=1, 2, . . . , ;;z), 
(*) Comunicata all’ Accademia nell’adunanza del 29 Aprile 1911. 
(»*) Cfr. le mie Note nei Rendic. del R. Ist. Lomb. del 1898, 1899, 1900 e negli Atti della R. Acc. di 
Torino del 1901, 1905; e la Memoria SuìV iute araldo ne approssimata delle equaiioni differendaìi ordinarie — 
Bologna, Ditta Nicola Zanichelli, 1899. 
Atti Acc. Seuik V. Vol. IV. Mem. XV. i 
din, (X) 
dx 
rx 
= fm ( X, 3,{X), . . 3n, (x) ) + 
•' X, 
I di^ (x) 
dx 
dl2 (X) 
dx 
t 
