Sulle equazioni fuitsioiiali 
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e quindi le ix), (-t) restano comprese entro i limiti assegnati per 
^2,..., dalle ( 3 ) tutte le volte che si ha: 
/ M-+-2b 
M 
il medesimo si verifica allora, com’è evidente, per tutti i sistemi di funzioni 
6) 
{x ) , (.r) (x) 
(«=1,2,..., oc). 
Detta h la minore delle due quantità |/ , è facile vedei’e che le (6), 
M 
al ci'escere di n, tendono in egual grado, nell’intervallo ( Xg — /z, Xg -r ^ funzioni 
limiti Z, (x), Zg (x), Z,„ (x), che soddisfano alle equazioni date ( 1 ). Posto infatti: 
jjXn) — ^0‘) (X") 
si ha : 
( 7 ) I f/P') (x) I ^ lìl 
e per ogni n'l> h : 
m 
V 
/v\. 
n - 1 
V 1 X - Xg 
0 \ 5 
I ”+s 
{n 4 - 5 ) ! 
/ = 1,2,..., m 
n = 1,2 ,..., oo 
i—ì ,2 ,..., m 
!i= 1,2 ,..., oc / ’ 
I (X) I ^ M 
n — l 
9 /i 
.r — Xn 
>1 ! 
donde segue senz’ altro che le serie : 
OC 
(8) . Z4x) = ^,(o) + >:,, f/4*>(x) 
{/— 1 , 2 ,..., m) 
convergono in egual grado nell’ intervallo (Xg — /?, Xg 4 " Si ha allora che , per 
ogni i— 1,2, ,m, le fi{x, (x), (x),..., {x)) , al crescere di n, tendono in 
egual grado , nell’ intervallo (Xg — h, x, 4- h), alle /4x, Z^ (x), Z2 (x),..., Z^ (x) ) e le 
gi{x,y,^^^^'> fyj) tendono in egual grado alle^4x,3^Z/y4Z.2 4’4”-, ^mCyJ) 
nel campo : 
I X - Xg I ^ , I 3 ; — .Vg I ^ /7 , 
onde risulta al limite : 
Z^ (x) r fii x,Z ^ (x),...,Z,„ (x) ) dx ~4 f di I g^ {t,y,Z^ iy) ) dy —j— -S'i 
J X(, J Xg ./ Xg 
l*X •'* X ''t 
Zj (x) {x,Z^ (x),...,Z,„ (x) ) cfx 4 ~ / di I g.^ {l,y, Z, (3^,..., Z„i iy) ) dy 4 -s'. 
•'.Vg Jx J Xq 
(fi) 
(0) 
Z,n (x) = / f,„ (x,Zi (xi,...,z,„ (x) ) dx 4 - [ dt\^ g,n {t,y, Zj (3;),..., Z,» (y) ) dy 
d (0) 
^ tu 5 
