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Carlo Severiìii 
[Memoria XV.] 
e quindi ; 
jx) 
dx 
:/i (:v, Z, (.V),..., Z,„ [x] ) 4- / {x, 3 ', Z, (y),..., Z„, iy) ) dy 
./ V . 
=/, (X, Z, (X) Z,„ (X) ) + p g,{x,y, Z, ( 3 ')...., Z„, (^’) ) <fy 
• X ,1 
dZrn 
dx 
jX 
= f{x, Z, [x],..., Z,„ {x) + / (^3 V, Z^ (V) 
^ A* 
(3') ) (b’ 
cioè, come sopra abbiamo detto, le Zj (x), Z., {x},..., Z,„ (m) soddisfano al sistema proposto (1). 
3. È facile vedere che le Zi (m), Z, fm),...., Z,„ (m) costituiscono l’unica soluzione delle 
(1), formata di funzioni che per m— assumono i valori iniziali Se 
è possibile, ne esista infatti un’altra, e siano Z ^ (x), Z^ (x),...., Z„t (x) le funzioni che la 
compongono. Ammesso che in un intoi'no di .Vq si abbia : 
(9) 
Z,- (.v) — Z,- (m) 
(/= 1 , 2 ,..., JH] 
s essendo una quantità positiva, lisulta evidentemente, a causa delle (4) e (5) : 
( 10 ) 
1 Z,: (.r) - Z,- (.V) 1 ^ s 
VI 
1 
m — 
Come Intorno del punto .Tq, in cui si suppone verificata la (9), si consideri 1' intorno 
Xq — , Xq -j- , N essendo una quantità positiva, che soddisfa alle condizioni : 
( 11 ) 
N 
1 , 
A' ^ 2:, k,. 
m 
V 
Dalla (10) segue allora, per tutti i punti di questo intorno: 
1 Z,- (x) — Z,- (X) i ^ {/— 1,2,..., ;;/) , 
e però le Z,- (x) e Zi (x) devono rispettivamente coincidere in quell’intorno. Analogamente si di- 
mostra ora che devono coincidere negli intervalli jxp — ^ , x^^ — (x,, , x^ -|- 
ove N s’ intende sempre scelto in modo da soddisfare alle (11), e cosi di seguito. 
