Sulle equiìBioui fiiusioìiali 
>) 
4. Consideriamo ora più generalmente il sistema di equazioni (1) senza ammettei’e 
che siano soddisfatte le (4) e (5), ed i sistemi : 
( 12 ) 
dx 
(.V) 
dx 
( .r, ) -f G^''\x, V, {y) ) dy 
p}''\x,3^''\x) ,s},'\x)) -f- j'^ G^^''\x,y, 3,^''\y)y...,3„y\yl))dy 
J ’^Cì 
(X) 
dx 
pjy X, ^y\x) ay\x] > + gJ^x, y, sy(y),....,^J%’) ) ,fy 
(v=: 1, 2,...,CC ) 
ove: 
(13) 
-P( (-^^ <^1 J '^2 V) '*//)) 5 Qi (•'^ 5 y'ì 1 J 'S'j 
/= I, 2,..., m 
V = I, 2,.. , co 
sono polinomi razionali interi di .r, y, , che soddisfano nel campo (3) alle con- 
dizioni : 
(14) 
( v) 
I fi (x, S,, ^2 S,n) — P> (.r, ^ 2 ,-, ^m) I ^ 
( v) 
Si (•^> y> i ^ ni) Qi (*^ ) 3S -^i V» ^ ni) I 
/= I, 2,..., W 
V = I, 2,..., co 
essendo : 
(15) 
^1 ) ^2 » • • • 5 > • 
una successione infinita di numeri positivi, decrescenti, tendenti a zero; ciò, come si sa, è 
possibile in infiniti modi, per un noto teorema di Weierstrass if). 
Siano : 
(16) 
zy (X) , 
(») 
z,y (X) 
(v=1,2,...gc) 
le soluzioni dei sistemi di equazioni (12), che per .v = Xq assumono i valori iniziali 
Ciascuna di tali soluzioni esiste certamente per quanto è stato sopra 
detto, nel rispettivo intervallo, (Xq — //,,, Xq + 7/J, ove l/^ indica la minore delle due quan- 
, 1 / 4/-f a„-|-2ù 
tità a, — l f- y ; — ; e tutte esistono, da un certo valore dell’ indice v in noi. 
ì M *■ ' 
nell’ intervallo (xo — h -[- s, Xq + ^ essendo una quantitcà positiva qualsivoglia, mi- 
(*■) Cfr. ad es. BOREL ; Lefoiis sur ìes foìiclions de variahìes rceìles et ìes deveìoppevieiits en sèries de polyuomes; 
Paris, Gaulhier-Villars, 190^. 
