12 
Carlo Severnii 
[Memoria XV. J 
La serie : 
converge pertanto in egual modo nell’ intervallo (a'o — e vi l'appi’esenta una 
funzione che evidentemente soddisfa all’equazione (32). La (x) è inoltre l’unica 
soluzione di questa equazione , come si può facilmente vedere con l’agionamento analogo 
a quello del § 3. 
Ciò posto indichiamo con li la massima quantità positiva , minore od uguale ad a , 
per cui risulta in ogni punto di (.ro — //', + 
in questo caso s’ intenderà in corrispondenza che h\^ rappresenti la minore delle ti'e quan- 
per modo che essendo s una quantità positiva, arbitrariamente piccola, si può trovare un 
valore '/ di v, abbastanza grande, pei'chè l’intervallo {XQ — h\, x^-\-h\) comprenda l’in- 
tervallo (.Vo — //-r') x^^-\-h — s), tutte le volte che v ^ v'. 
Nell’ intervallo (x,> — Xsj-\-ìi — s) si considerino allora le; 
E facile vedere che tali funzioni sono ivi egualmente continue. .Si ha infatti, detti x 
ed .v' due punti di (m„ — /E-f-s, A'o-f-/?' — ~) • 
e, poiché egualmente continue sono, come è evidente, le (v= 1, 2 ,..., oc), 
risulta senz’altro provato quanto abbiamo dianzi asserito. Le (33) ammettono pertanto nel 
l’intervallo (Xo — .r„ -{- // — e), una o più funzioni limiti continue, ciascuna delle 
quali soddisfa all’equazione (28), come si può vedere con ragionamento analogo a quello 
Se sulla /(ji', y, .sr) si fa in più l’ipotesi che, qualunque siano due punti (.v, 3’, 5'), 
(m, 3’, s) del campo (29), si abbia : 
I F {X) - F {X,) I + 3/ ! X - .To I < ù 
o, se si vuole, la più piccola delle tre quantità a, a\ e.ssendo {x^ — a, X(^-\-a) il 
massimo intorno di .Vo, avente .r,, come punto medio, in cui si ha : 
I F(x) - F{r,) I sS-^- 
È evidente allora che, al crescere di v, la quantità h'^ tende ad h, 
(33) 
(.v) (v = '/, ■/ -f 1 X ) . 
del ^ f). 
(34) 
H essendo una costante positiva, lìnita, l’equazione (28) ammette un’unica soluzione, per 
la quale si può, analogamente a quanto è stato fatto nel 6, costruii’e una serie di po- 
