8 
Carlo Severini 
[Memoria XVI.] 
formate colle solnsioìti delle equasioni : 
(12) = Pt [X, s, (x),...., (x) ) -fQ,: {x, (x) ) / i?, (x,y, (y),...., 3„Ay))dy 
e corrispondeìiti agli stessi vcdori iìiisiali (5) per x=Xq. 
5. Il metodo del prec. §, che ci ha servito a stabilire l’ esistenza delle funzioni (18), 
soddisfacenti alle (1), nella sola ipotesi che le (2) fossero assolutamente continue, è del 
pari interessante, se si aminette che siano soddisfatte le (4) nel qual caso esiste (§ 3) il 
solo sistema di funzioni (7), che soddisfano alle (1), e che assumono per = i va- 
ioli dati (5). 
Fissato come sopra l’intervallo (Xo — ll-\-^, Xq^Ii — s) ed il numero v', risulta in 
ogni punto di tale intervallo : 
(v+l) 
Si {X) 
(v) 
^i {x) 
(/= 1,2, .... , m), 
e le serie (19) convergono in egual grado enti o (Xo — li -j~ e, -j- li — s). 
Ognuna delle (16) può, a sua volta, nell’intervallo (:ro — liv , x^ -j- liv ) essere rap- 
presentata, con qualsivoglia approssimazione, per mezzo di un polinomio razionale intero, 
come subito si vede applicando ai sistemi (12) il metodo delle approssimazioni succes- 
sive (1^ 2). Se pertanto si costruiscono i polinomi: 
( 20 ) 
(V) 
G, (.*) 
in modo che si abbia : 
(v) (vi 
I Si (x) — Gì [x) I ^ av 
(i= 1, 2, .... , m 
v=:l,2, .... , oo 
\xo — liv X ■^Xo-\-In 
risulterà, in ogni punto di (x„ — li, Xo-\-li)\ 
(I) 
^i {xl) = Gì [x) -|“ ■^v 
I 
(v-i-i) (v) -. 
(7,: [x)-Gi (.T)J 
m). 
e le serie qui scritte convergeranno in egual grado in ogni intervallo interno (a.*o — //-[-£, 
— s). 
6. (guanto abbiamo hn qui detto per il sistema di equazioni (1) si applica evidente- 
mente all’unica equazione: 
(21) -J^^;r=fix,(^{x),(^' {x),....,o (.r))+if,(./"f (./'), '(./'),-,? (x)) li(x,y,(p(y),(p'(y),...,'^ (y))dy 
lìi-t) 
(m-l) 
