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Proceedings of Boy cd Society of Edinburgh, [july 18 , 
“ Lorsqu’on a deux systemes de n lettres chacun, et nous 
supposerons chaque systeme ecrit avec une seule lettre portant 
divers accens, qui serviront a ranger dans le meme ordre les 
deux systemes ; on peut former avec ces lettres un nombre 
n- - de resultantes a deux lettres, en ne prenant dans le 
second terme de chacune, que des lettres portant les memes 
accens que celles du premier. Si, avec deux autres systemes 
de lettres, on forme encore des resultantes a deux lettres, et 
qu’on les multiplie cbacune par sa correspondante obtenue des 
deux premiers systemes, e’est-a-dire, par celle dont les lettres 
portent les memes accens; la somme des produits de toutes 
ces resultantes correspondantes sera elle-meme une resultante 
a deux lettres, dont les termes ou lettres seront des sommes 
de produits des eldmens des deux systemes portant les 
memes accens. Avec deux groupes de trois systemes de 
lettres chacun, on peut former semblablement deux series de 
resultantes a trois lettres ; faisant ensuite la somme des pro- 
duits de celles qui se correspondent par les accens de leurs 
lettres, on aura encore une resultante k trois lettres. Pareille 
chose ayant lieu pour des resultantes a quatre lettres, &c., on 
peut conclure ce theoreme: Le produit d’un nombre quel- 
conque de sommes de produits * de deux resultantes correspon- 
dantes de meme ordre, est encore une resultante de cet ordre.” 
(xvn. 4 + xvin. 4.) 
The mode of proof adopted is lengthy, laborious, and not very 
satisfactory, except as affording a verification of the theorem for the 
cases of “resultantes” of low orders. It rests too on certain 
identities, the demonstration of which is open to similar criticism. 
All that Binet says regarding these absolutely essential identities 
is (p. 284) — 
“ Je representerai par %a la somme a' + a" + a"' + &c., des 
quantites a', a'\ a"\ &c. ; par %ab la somme des produits 
ab + a'b' + a"b" + &c., dans chacun desquels les lettres a et b 
ont le meme accent; par %ab' la somme a'b" + b'ct" + ab'" + &c., 
* There is an extension here which one is scarcely prepared for, viz., “ le 
produit d'un nombre quelconque de sommes de produits instead of la somme 
d un nombre de produits. 
