1887.] Dr T. Muir on the Theory of Determinants. 487 
la tous les produits d’un des a par un des b, portent 
un accent different de celui de a; par %ab'd' la sonime 
a'b"c" + b'c'a" + c'a"b"' + <fcc., et ainsi de suite. Cela pos6, on 
verifie aisement les formules suivantes : 
%ab' = %a%b - %ab , 
%ab'c" = %a%b%c + 2 %abe - ^a^bc - %b%ca - %c^ab , 
%ab'c"d’" = tdtb^c%d - Qtabcd 
- %a%b^ed - %a%c%bd - %a%d%bc 
- %c%d%ab — %b%d%ac - %l)%c%ad 
+ %ab%cd + %ac%bd + %ab*%bc 
+ 2 %a%bcd -f 2 %b%cda + 2 %c%dab 
+ 2%d^abe, 
% ab'c"d m e' v = %a%b%c%d%e + &c. , 
&c. 
It is thus seen that not only is no general proof of the identities 
given, but that even the law of formation of the right-hand members 
of the identities themselves is left undivulged. The exact words 
employed in the demonstration of the first case of the multiplication- 
theorem are (p. 286)— 
“Avec un nombre n de lettres y\y'\y"\ &c. et un meme 
nombre de r z , z\ z", &c. on peut former rt 1 — — resultantes a deux 
A 
lettres (y, z"), (y\ z "), &c. (y", z'") &c. ; ayant forme pareille- 
ment avec les lettres, v, v", v"\ &c., &c., les resul- 
tantes (v, £"), (v, &c., (v", &c., considerons la somme 
%(y, z)(y , £') des produits des resultantes qui se correspondent 
par les accens dans les deux systemes. On voit, en develop- 
pant, par la multiplication, chacun des termes de cette somme, 
qu’elle revient a 
%yv.z'£ - %zv.y'% . 
A ces deux dernieres integrates, on peut appliquer la transfor- 
mation indiquee par la premiere des formules de Tart. 1 : on 
parvient ainsi a 
2(y, z')(v, £') = %yv%z^ - tzv%yt. 
Ce dernier membre pouvant etre assimile a la forme (y, «'), il 
* Meant for 'Zad. 
