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Proceedings of Royal Society of Edinburgh, [july 18, 
qni par consequent se trouve toujours egale au produit 
• • • • CLyi 
x (a 2 - a 1 )(a 3 - a 2 ) . . . ( a n - a 1 )(a 3 -a 2 ) . . . (a n - « 2 ) . . . (a n - a n a ) . 
Supposons maintenant que Ton developpe ce dernier produit, 
et que dans chaque terme du developpement on remplace 
1’exposant de chaque lettre par un second indice egale a 
l’exposant dont il s’agit, en ecrivant par exemple a rs au lieu 
de a r s , et a SiT au lieu de a s r , on obtiendra pour resultat une 
nouvelle fonction symetrique alternee, qui, au lieu d’etre 
representee par 
S(± a 1 1 a. 2 2 af .... a n n ) 
sera representee par 
S(± ®l*1^2*2®3*3 * • • • n) ) 
le signe S etant relatif aux premiers indices de chaque lettre. 
Telle est la forme la plus generale des fonctions que je 
d^signerai dans la suite sous le nom de determinans. Si l’on 
suppose successive ment * 
n — 1, n = 2, &c 
on trouvera 
S( ^ ^l*i^2'2) 
S( ± ^1*1^2* 2 ^ 3 * 3 ) 
&C. .... 
a V 1 ^ 2*2 ^ 2 * 1 ^ 1 ’ 2 ’ 
Cty l^2'2^3'3 ""H ^9* 0^4 • 3 ^3* 1^1*2^°* 3 
CL -^* 4^3* o^9* ^ ^3* 1^2* 9^1* 3 ^2*1^1*2^33 
pour les determinans du second, du troisieme ordre, &c. . . . . 
In regard to this it is important to notice that there are really 
two definitions given us. The latter, viz., that involved in the 
symbolism of alternating functions, 
S( + t?2*1^2'2^3 , 3 * • • • n) 
contains nothing more than Leibnitz’s rule of formation and an 
improved rule of signs. The former is new and may be paraphrased 
as follows : — 
7/ the multiplications indicated in the expression 
x (a 2 - a 1 )(a 3 - oq) . . . (a n - a 1 )(a 3 - a 2 ) . . . ( a n - a 2 ) . . . ( a n - a n _ 2 ) 
* n = 2, n = 3, &c. is meant. 
