508 Proceedings of Royal Society of Edinburgh, [july 18, 
The object which Cauchy had in view in stating the rule in this un- 
necessarily complex form was doubtless to show its essential identity 
with the rule implied in his new definition. He says (p. 58) — 
“ On demontre facilement cette regie par ce qui precede, 
attendu qu’une transposition operee entre deux indices change 
toujours, comme on l’a fait voir, le signe du produit 
(h/3 ^a) (^y ^a) • • • • ^a) (hy ^js) • • • • > 
et par consequent celui du produit 
((3-a) (y- a) . . . (£-a) (y-fi) . . . . ” 
The way having thus been prepared, the propositions of deter- 
minants are entered on. Those known to his predecessors we may 
dispose of rapidly, giving little, if anything, more than the enuncia- 
tion of them, in order that the new garb in which they appear may 
be seen. 
. . . . “ le determinant du systeme (< a n . x ) est egal a celui du 
systeme (a rn ) En consequence, dans Texpression 
S( =*= • • ' • a n'n) 
on peut supposer indifieremment, ou que le signe S se rapporte 
aux premiers indices, ou qu’il se rapporte aux seconds : (ix. 2). 
Si Ton echange entre elles deux suites horizontales ou deux 
suites verticales du systeme (a rw ) de maniere a faire passer 
dans une des suites tons les termes de 1’autre et reciproque- 
ment on obtiendra un nouveau systeme symetrique, dont le 
determinant sera evidemment egal mais de signe contraire a 
celui du systeme ( a Vn ). Si Ton repete la meme operation 
plusieurs fois de suite, on obtiendra divers syst&mes syme- 
triques dont les determinans seront egaux entre eux, mais 
alternativement positifs et negatifs. On peut faire la meme 
remarque a 1’egard du systeme (a n .-^) (xi. 3). 
si Ton developpe la fonction symetrique alternee 
dl it Cl ^2‘2 • • • • ^w-l*w-l)J 
tous les termes du developpement seront des produits syme- 
triques de 1’ordre n, qui auront l’unite pour coefficient. Ces 
