IN FRAZIONI CONTINUE E VICEVERSA 
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ossia che cominciando da u 1 ed u 2 , ogni qual volta l’indice 
di u si aumenta di 2 , il suo grado diminuisce di 1 , e 
perciò grado u 2i ^ x — grado u 2i = m — i — 1. 
Con analogo ragionamento si perviene alla conchiusione 
relativa all’ipotesi m<Ln. 
La precedente proprietà risulta anche dall’ analisi del 
numero dei termini contenuti nelle singole orizzontali del 
quadro (b. 
3. Se i polinomìi s m e t n non hanno alcun fattore co- 
mune , la frazione continua nella quale si sviluppa -- 
^ n 
avrà, per m>n, 2m quozienti incompleti; e ne avrà 2n+l 
per m<m. Se poi quei polinomii hanno r fattori linea- 
ri comuni , quella frazione continua avrà 2 ( m — r ) o 
2(n — r) + l quozienti incompleti , secondo che sia m > n 
o m ^n. 
Dal n.° 2, nell’ipotesi di m>n, facendo i = m — 1 
risulta grado u 2m _ 2 = grado u 2m _ x = 0 ; vale a dire che 
u 2m . 2 = c 2m _ 2ì0 , u 2m _ 1 = c 2fn _ lt o ed u 2n = 0; perciò le (1 fini- 
ranno con 
U 2 m — 3 C 2m — 3,q 
^2m—2 Qj/n— 2 , 0 
+ 
figw— 1,0 
C 2 m—2 , 0 
e la frazione continua (2 fluirà con jr - — 5 essa quindi avrà 
x '-2m- 2, 0 A 
C 2ni-1, 0 
2 m quozienti incompleti. Similmente si conchiude che se 
m<Ln, sarà u 2n _ x = c 2n ^ 0 , u 2n = c 2n> 0 , u, n+1 = 0 : la frazione 
continua (2 finirà perciò con c 2 *~ ed avrà quindi 2 n + 1 
Ctn, 0 
quozienti incompleti. 
La seconda parte del teorema superiore si dimostra 
in conseguenza della prima. Dividendo infatti s m e t n per 
