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SULLA TRASFORMAZIONE DELLE SERIE 
il prodotto dei loro r fattori comuni ed indicando con s m _,. 
e t n _ r i rispettivi quozienti, la frazione si trasformerà 
£n—r 
in una frazione continua che avrà 2{m — r) o 2 (n — r) + 1 
quozienti incompleti, secondo che m > n o m n. 
Facilmente poi si vede che questa frazione continua 
è quella stessa che si otterrebbe oprando sopra s m e l n 
direttamente , invece che sopra s m _ r e t n _ r . In effetti se , 
come nel n.° 1, si pone 
S rn—r 
tfl—r 
u\x 
tn—r 
siccome = sarà, per qualunque valore di x 
Ijx—r L n 
_ / jq 
b'o à 0 \ l n 
U\_ 
tn—r 
X, 
e quindi ^ * Da quest’ ultima uguaglianza 
poi si ha che -£*-=-?*- e così di seguito. Sicché le due 
c 1,0 W, 0 
frazioni continue in cui si sviluppano i quozienti 
sono identiche. 
Si può anche dimostrare direttamente che il quozien- 
te ~~ si svolge in una frazione continua di 2 (m — r) o 
2 (n — r) + 1 quozienti incompleti ogni qualvolta s m e t n 
hanno r fattori lineari comuni, o, ciò che è lo stesso, ogni 
qualvolta le equazioni s m = 0 , t n = 0 hanno r radici 
comuni. 
Risulta invero dalla (3 che ogni radice comune alle 
due u, e = 0, — 0 è anche radice di u,._ 2 = 0, e perciò 
anche di u K _ 3 = 0 t n =:Q, s m = 0; e che se u,. è iden- 
