IN FRAZIONI CONTINUE E VICEVERSA 
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4. È chiaro che se la frazione continua (2 è finita, 
il quoziente delle due serie infinite set deve essere una 
funzione razionale di x. Giacché immaginando eseguite le 
operazioni necessarie , la frazione continua e finita (2 si 
ridurrà ad urfi espressione della forma dove f e g so- 
no due funzioni razionali di x\ perciò 
funzione razionale di x. 
\~ g{x)ì 
sarà una 
Viceversa se il quoziente delle due serie infinite set 
è una funzione razionale di x per es. » dove f e g si 
possono sempre supporre due polinomii interi in x, la fra- 
zione continua (2 è sempre finita. Essa è difatti quella 
medesima che si otterrebbe sviluppando in frazione con- 
tinua in luogo di fi- ; ciò che si vede facilmente ra- 
gionando come si è fatto nel n.° 3 a proposito delle due 
frazioni continue nelle quali si sviluppano i quozienti 
<? • / <? • / 
• v n ? ° m—r * v n—r • 
Ne segue che : 
La frazione continua (2 che esprime it quoziente eli 
due serie infinite set allora solo può essere finita , 
quando quel quoziente è una funzione razionale di x. In 
particolare quando set sono due serie ricorrenti. 
5. Se m > n , le orizzontali di posto dispari del qua- 
dro (b finiscono tutte con a m \ e se m <^n ; quelle di posto 
pari finiscono tutte con b n . Perciò le frazioni continue 
(7 ed (8, per r=0, finiscono con a m e b n , rispettivamente. 
Vale a dire che, per m > n , la più alta potenza di x in 
ognuna delle u di indice impari ha per coefficiente a m ; e 
per m IL n quella potenza di x ha per coefficiente b n in 
ognuna delle u di indice pari. 
In effetti, per myn , u 2J ed u. 2j+x arrestandosi ai ter- 
mini di grado m—j—l (n.° 2), sarà = 0, c 0 
