IN FRAZIONI CONTINUE E VICEVERSA 
149 
Se poi si verifica la seconda ipotesi, ossia che la fra- 
zione continua si svolga in una serie ricorrente, quando k 
è dispari dovrà essere il grado di P maggiore di quello 
di Q ed uguale a » e quando h è pari dovrà essere 
il grado di Q maggiore o uguale a quello di P ed uguale 
a 4r (n.° 3). Sicché si può conchiudere che: 
Una frazione continua Unita come la (9 o la (11 
mediante la regola del nf 8 si trasforma in un polinomio 
P intero in x se il numero k dei suoi quozienti incom- 
pleti ( non contando quello che costituisce la parte indi- 
pendente da x) è dispari , e se nello schema (15 le quan- 
tità c, tr lungo la diagonale principale si arrestano a quella 
Ix 1 1 
che è nel posto espresso da -U > — Questo numero o V al- 
tro h + 1 + « [secondo che la frazione continua è della 
forma (9 o (11] è uguale al grado del polinomio P. 
Mancando una delle due condizioni precedenti la fra- 
zione continua con la regola del n.° 8 verrà svolta in 
una serie infinita ricorrente ordinata secondo le potenze 
intere di x e che avrà per frazione generatrice il quo- 
p 
ziente - Q di due polinomii dei quali , se k è dispari , il 
grado di P è maggiore di ciucilo di Q ed uguale a , 
e se k è pari il grado di Q è maggiore o uguale a quello 
h 
di P ed uguale a -g- • 
Così data la frazione continua 
> = i + 
ì 
o 
. 7 ? 
X 
X 
9 
“h 
X 
4 
3 
9 
48 
x 
4 
