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Proceedings of the Poyal Society 
oh les lettres A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , &c., ne marquent, 'pas comme & 
l’ordinaire, les puissances d’ A, mais le premier membre, sup- 
pose connu, de la premiere, seconde, troisieme, quatri6me, &c. 
equation.” 
[Here the solutions of tbe cases of 1,2, and 3 unknowns are 
given, and he then proceeds.] 
“ L’examen de ces Eormules fournit cette Regie g6n£rale. Le 
n ombre des equations et des inconnues etant w, on trouvera la 
valeur de chaque inconnue en formant n fractions dont le 
denominateur commun a autant de termes qu’il y a de divers 
arrangements de n choses difibrentes. Chaque terme est 
compose des lettres ZYXY, &c., toujours Writes dans le m^me 
ordre, mais auxquelles on distribue, comme exposants, les n 
premiers chiffres ranges en toutes les manieres possibles. 
Ainsi, lorsqu’on a trois inconnues, le denominateur a 
[1x2x3 = ] 6 termes, composes des trois lettres ZYX, qui 
recoivent successivement les exposants 123, 132, 213, 231, 
312, 321. On donne a ces termes les signes + ou -, selon la 
Regie suivante. Quand un exposant est suivi dans le meme 
terme, mediatement ou imm4diatement, d’un exposant plus 
petit que lui, j’appellerai cela un derangement. Qu’on compte, 
pour chaque terme, le nombre des derangements : s’il est pair 
ou nul, le terme aura le signe + ; s’il est impair, le terme aura 
le signe - . Par ex. dans le terme Z 1 Y 2 Y 3 il n’y a aucun 
derangement ; ce terme aura done le signe + . Le terme 
Z 3 Y 1 X 2 a aussi le signe + , parce qu’il a deux derangements, 3 
avant 1 et 3 avant 2. Mais le terme Z 3 Y 2 X 1 , qui a trois derange- 
ments, 3 avant 2, 3 avant 1, et 2 avant 1, aura le signe — . 
“ Le denominateur commun etant ainsi form4, on aura la 
valeur de z en donnant k ce denominateur le num^rateur qui se 
forme en changeant, dans tous ces termes, Z en A. Et la 
valeur d’ y est la fraction qui a le meme denominateur et pour 
numerateur la quantite qui resulte quand on change Y en A, 
dans tous les termes du denominateur. Et on trouve d’une 
maniere semblahle la valeur des autres inconnues.” 
It is evident at once that the new results here given are — 
(1) A rule for forming the terms of the common denominator of 
