568 Proceedings of the Royal Society 
can be accomplished by means of rules which mathematicians have 
given : — 
“ Mais comme elles ne me paroissent avoir ete jusqu’ici 
demontrees que par induction, et que d’ailleurs elles sont im- 
practicables, pour peu que le nombre des Equations soit con- 
siderable; je vais reprendre de nouveau cette mature, et 
donner quelques proc^des plus simples que ceux qui sont dej& 
connus, pour Glimmer entre un nombre quelconque d’4quations 
du premier degr&” 
Taking n homogeneous linear equations with the coefficients 
\ \ \ — 
2 a , \ 2 c } ... . 
he first gives Cramer’s rule for writing out what he, Laplace, calls 
the Resultant , using in the course of the rule the term variation in- 
stead of Cramer’s term “ derangement .” Then he gives the “ perhaps 
simpler” rule of Bezout, and shows that of necessity it will lead to 
the same result as Cramer’s. 
The theorem in regard to the effect of transposing two letters is 
next enunciated, and the blank left by Vandermonde is filled, for a 
proof of the theorem is given. The exact words of the enunciation 
and proof are — 
“ Si au lieu de combiner d’abord la lettre a avec la lettre b, 
ensuite ces deux-ci avec la lettre c, et ainsi de suite; c’est-&-dire, 
si au lieu de combiner les lettres a , b , c, d, e, &c., dans 
l’ordre a, b, c , d, e , &c., on les eftt combinees dans l’ordre 
«, c, b , d, e , &c., ou a , d , b, c , e, &c., ou a, e, b, c, d, &c., 
oa &c., je dis qu’on auroit toujours eu la meme quantite a la 
difference des signes pies. 
“ Pour demontrer ce Theor£me nommons en general, 
resultante , la quantity qui resulte de l’une quelconque de ces 
combinaisons, en sorte que la premiere resultante soit celle qui 
vient de la combinaison suivant l’ordre «, b, c, d, e, &c., que la 
seconde resultante soit celle qui vient de la combinaison suivant 
l’ordre a , c, b, d, e, &c., que la troisieme resultante soit celle 
qui vient de la combinaison suivant l’ordre a, d, b , c , e, &c., 
et ainsi de suite; cela pos4, il est clair que toutes ces r^sultantes 
