of Edinburgh, Session 1885-86. 
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and requires special attention. It is introduced as “ a very simple 
process for considerably abridging the calculation of the equation of 
condition between a, b, c,” &c. — that is to say, the calculation of a 
resultant. It is, however, something of much more value than this, 
involving as it does a widely general expansion-theorem to which 
Laplace’s name has been attached, but of which we have already 
seen special cases stated by Vandermonde. The theorem may be 
described as giving an expansion of a resultant in the form of an 
aggregate of terms each of which is a product of resultants of lower 
degree. Laplace’s exposition is as follows : — 
“ Je suppose que vous ayez deux Equations, 
0 = + Vj.g! \ 0 = 2 a.fx + 2 b.f ; 
ecrivez + ab , et donnez l’indice 1 k la premiere lettre, et l’indice 
2 k la seconde ; l’equation de condition demandde sera 
+ 1 a 2 b - Y b. 2 a = 0. 
“Je suppose que vous ayez trois Equations; ecrivez + cib, 
combinez ce terme avec la lettre c de toutes les manures 
possibles, en changeant le signe de chaque terme chaque 
fois que c change de place, vous aurez ainsi + abc - acb + cab ; 
donnez dans chaque terme l’indice 1 k la premiere lettre, 
l’indice 2 k la seconde, l’indice 3 a la troisikme, et vous 
aurez + 1 a. 2 b. 3 c - 1 ct. 2 c. 3 b + 1 c 2 a 3 b ; cela pose, au lieu de 
+ 1 a 2 b 3 c dcrivez + Q-a 2 b - 1 b 2 a) 3 c ; au lieu de + 1 a. 2 c. s b 
ecrivez - ( 1 a 3 b - 1 6. 3 a). 2 c; et au lieu de + ^c 2 a 3 b ecrivez + ( 2 a 3 b 
— 2 b 3 a). 1 c; l’equation de condition demandde sera 
0 = (! a 2 b - *b.*a)*c - i}a 3 b - 1 b 3 a) 2 c + ( 2 a 3 b - 2 b 3 a)M 
“ Je suppose que vous ayez quatre equations, Ecrivez 
+ abc — acb + cab , et combinez ces trois termes avec la lettre d, 
en observant 1° de n’admettre que les termes dans lesquels c 
precede d ; 2° de changer de signe dans chaque terme toutes 
les fois que d change de place, et vous aurez 
+ abed — acbd + aedb + cabd - cadb + edab ; 
donnez ensuite l’indice 1 k la premiere lettre, l’indice 2 & la 
seconde, &c., et vous aurez 
+ I a 2 b 3 cM - 1 a 2 c 3 bM + 'a. 2 c 3 d*b 
+ Wa, 3 bM - 1 c. 2 a 3 dMi + 'cM^aJb; 
