of Edinburgh , Session 1885-86. 
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Auf diese Weise haben sich die Figur en fur die Typen dev P 5 
sdmmtlich ergeben : in der Nahe des aufgeldsten Punctes sind die 
und P 1 Punctirt. 
Man hatte den Punct A' noch um eine endliche Strecke anf der 
R' 4 vorwarts bewegen konnen, ohne dass die successive so 
entstebenden R 5 ihre Yerscblingung geandert hatten. Man ersiehfc 
daraus, wie sich der in § 5 geschilderte Uebergang einer R 4 in eine 
R 5 in mannigfaltigster Weise bewerkstelligen lasst. 
Es kann sich freilich ereignen, dass, wie z. B. Figur a auf Blatt. 
I. lehrt, von den drei Fundamentalpuncten der T 2 keiner langs der 
R 4 in die Lage eines Doppelpunctes rucken kann, ohne dass nicht 
inzwischen die R 5 ihren Typus gewechselt hatte. Dagegen zeigt Figur 
j3 ebenda, wie man diesen Missstand (stets) vermeiden kann. 
Ganz ebenso lassen sich die Typen der R 4 durch Auflosung aus 
der R 3 gewinnen : dies erweist sich zugleich thatsachlich als 
der einfachste Weg, um liber die in § 2 besprochenen Lagen der 
beiden reellen Wendepuncte Aufschluss zu erhalten. 
§ 7. Per Aujidsungsprocess mit Hiilfe der Projection. 
Der im vorigen § vorgenommene Process der Auflosung einer 
R n und R 4 hort auf, anwendbar zu sein, sobald n> 4. Wir theilen 
daher noch ein anderes Yerfahren mit, das allgemein fur ebene 
(auch raumliche) R„ brauchbar ist. 
Man kann nemlich eine gegebene R w auf die mannigfaltigste Art 
als Projection einer rationalen Raumcurve C w+1 ( n + l ter Ordnung) 
von einem ihrer Puncte P aus, erscheinen lassen. 
In der That, wenn die R w dargestellt ist durch die Gleich ungen, 
(1) x 1 :x 2 : :/ 2 (X) :/ 3 (X), 
wo die x Punctcoordinaten, und die / ganze Functionen n ten Grades 
von X bedeuten, so liefert, wenn (X) eine ebensolche Function vom 
Grade n + 1 ist, das Gleichungssystem (bei beliebigem, reellem a) : 
(2) x x :x 2 :^ 3 :a? 4 =/i(X)(X-a) :/ 2 (X)(X- a), :/ 3 (X)(X- a) : 0(X), 
immer eine C n+ i von der gewiinschten Art. Dabei ist P der Raum- 
punct = o, x 2 = o , x 3 = o. Ist t die Tangente in P, und P' ein, zu 
P benachbarter, nicht auf G n+1 gelegener Punct, und projicirt man 
jetzt die C n+1 von P' aus auf die Ebene x 4 = o d.i. die Ebene der R w 
