600 
Proceedings of the Royal Soeiety 
rappresentazione piana di una certa classe di superficie, e con qiiella 
delle trasformazioni razionali nello spazio, come da nn sistema piano 
di punti, rette e curve si possono dedurre la costruzione e le pro- 
prieta di superficie situate comunque nello spazio (di quelle che sono 
rappresentabili punto per punto sul piano). 
Se sono dati sei punti 123456 in un piano, per essi passano 
quindici rette e sei coniche. Ciascuno de’ sei punti e doppio per 
infinite cubiche (curve di 3° ordine) passanti per gli altri cinque, 
formanti un fascio ; le tangent! nel punto doppio sono percio in 
involuzione. I sei punti doppi danno cosi sei involuzioni. Allora 
si puo domandare di costruire una curva Kg di 6° ordine, che abbia 
sei punti doppi in 123456 e per tangent! altrettante coppie delle sei 
involuzioni. II problema e risoluto dalle lacobiane delle reti di 
cubiche passanti per i sei punti dati. Le Kg costituiscono un 
sistema lineare tre volte infinite, ossia sono combinazioni linear! di 
quattro Kg fra loro indipendenti. Vi sono altre involuzioni, in 
ciascuna delle quindici rette e delle sei coniche. L’ involuzione in 
una retta 12 e determinata dal fascio delle coniche 3456 ; e T in- 
voluzione in una conica 12345 dal fascio delle rette per 6. Le 
curve Kg segano ciascuna delle quindici rette — delle sei coniche 
sempre in coppie di punti dell’ involuzione. Vi sono poi infiniti 
punti dotati della propriety che tutte le curve Kg passanti per 
uno di essi ivi si toccano; il loro luogo e una curva Hjg del 
dodicesimo ordine, aventi sei punti quadrupli in 123456, e 
tangent! alle quindici rette ed alle sei coniche nei punti doppi delle 
involuzioni, e nei punti quadrupli ai raggi doppi delle involuzioni 
risprettive. 
Possiamo ora prendere le Kg come imagini delle sezioni plane 
d’una superficie. L’ ordine sara 6*6 - 6 ‘4= 12. Essa ha ventisette 
rette doppie, le cui imagini sono i sei punti dati, le quindici rette e 
le sei coniche. Ha inoltre quarantacinque punti tripli n^ quali le 
ventisette rette nodali concorrono tre a tre. 
La superficie ha poi una curva cuspidale avente per imagine Hj 2 ; 
e siccome questa e incontrata da ogniKg in 6 ’12 - 6*2*4 = 24 punti, 
cosi la curva cuspidale e del 24° ordine. 
Di qual classe e la superficie 1 Ai piani tangent! che passano per 
un punto 0 dello spazio corrispondono Kg formanti una rete, la cui 
