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9o 
Vgi 
fn Q _ 1 — 9^ 1 ^ + • • • + Vg ; 
darin sind die Grössen mit dem Index 0 und sämtliche g h rationale Zahlen, auch können in einigen 
Zeilen der Gleichungen (2), (3), (4) entweder das rationale Anfangsglied, oder sämtliche andere 
irrationale Glieder verschwinden. Wir setzen noch, bequemerer Darstellung wegen a 0 — 0 voraus, 
indem anderenfalls nur schliesslich x — a 0 statt x substituiert zu werden braucht, und führen die 
abkürzenden Bezeichnungen : 
2 " = 
2” 1 = 
2“ 2 
2 n Q = 
Nunmehr erheben wir Gleichung (1) nacheinander zur 2 ten , 4 ten , 6 ten , . . . , « ten Potenz. 
In diesen Gleichungen treten, wie leicht zu ersehen, nur folgende aus den V a h hervorgehende 
Wurzeln auf (wobei die Indices h, i, k, l, . . . natürlich allgemeine veränderliche Bedeutung haben): 
1 / a h a i a k a l , Va h a { a k a x a p a q , . . . 
die Anzahl derselben ist, jenachdem n ungerade oder gerade ist: 
n(n — 1) n (n — 1) {n — 2) (n — 3) 
1 . 2 . 1 . 2 . 3 . 4 
Eliminieren wir sie aus den a/2 gebildeten Gleichungen, so erhalten wir eine Gleichung 
für x vom « ten Grade, deren Koeffizienten in den n h rational sind und in welcher nur gerade Po- 
tenzen von x Vorkommen. Wir bringen diese Gleichung auf die Form, dass links nur x u steht und 
bezeichnen sie dann als Gleichung (A). Dieselbe multiplizieren wir nacheinander mit a 2 , a 4 , . . . x 2lil ~ 2 
sodass, einschliesslich (A) selbst, cq Gleichungen entstehen, und unterdrücken auf deren rechten Seiten 
mittels (A) alle Potenzen von x, deren Grad höher als « — 2 ist. Jetzt führen wir in diese Gleichungen 
statt der a h mittels (2) die) ]/ b h ein; von diesen sind, da die a h auch in Produkten mit einander vor- 
kamen, sämtliche Kombinationen (und zwar nicht nur die Wurzeln aus Produkten mit einer geraden 
Anzahl von Faktoren) vorhanden, deren Anzahl rq — 1 ist; sie lassen sich also aus obigen 
«x Gleichungen eliminieren. Das Resultat der Elimination ist rational in x und den b h und hat die 
Form einer gleich Null zu setzenden Determinante, deren erste Yertikalreihe aus den Potenzen, 
x u , x a + 2 , . . . , a;«+2«i-- 2 gebildet wird, und deren sämtliche andere Elemente ganze gerade 
Funktionen von x vom höchstens (« — 2) ten Grade sind. Die Determinante ist daher eine Funktion 
von x mit formell rationalen Koeffizienten, deren Grad (« + 2eq — 2) -+■ (cq — 1) (« — 2), das ist «<q 
beträgt. Diese Gleichung möge, nachdem auf ihrer linken Seite nur das Glied x a ‘h belassen worden, 
als Gleichung (B) bezeichnet werden. Wir multiplizieren dieselbe mit a 2 , cc 4 , . . . x 2 ~ 2 und ope- 
rieren überhaupt mit derselben in gleicher Art wie mit (A); dadurch erhalten wir eine Gleichung (C) 
vom a «x « 2 ten Grade, deren Koeffizienten in den c h rational sind, und so fahren wir in gleicher Weise 
fort, bis wir endlich zu einer Gleichung (G) für x vom a «x K 2 • • • «^ ten oder vom {^ n2 r n i + n 2 ---+ n Q^teo. 
Grade gelangen, deren Koeffizienten rational in den g h d. h. rational sind. Damit ist, nachdem 
noch die etwaigen Nenner fortgeschafft worden, die Aufgabe gelöst. — Die Gleichung (G) enthält nur 
gerade Potenzen von x, doch geht diese Eigenschaft verloren, wenn a 0 von 0 verschieden, also 
schliesslich x — a 0 statt x zu setzen ist. 
Dass der Grad der Gleichung (G) der richtige ist, ersieht man aus folgender einfacher Be- 
trachtung. Die Gleichungen (A), (B), . . . (G) sind rational in den a h , bez. b h , . . . g h) sie bleiben 
also bis zu der der Gleichung (G) vorhergehenden in der Form, und die letztere in der That un- 
geändert, wenn vor den Wurzeln Va h) V b h , . . . V g h in den Gleichungen (1) bis (4) die "Vorzeichen 
beliebig gewählt werden. Daher ist der Grad von (G) gleich der Anzahl der Werte, die x hei allen 
• + 
" = 2-1-1 =f-l. 
