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(üf- 
&i (z, z x ) — 
wo die zu <P konjugierte Funktion bezeichnet. Da ferner auf dem Rande 
df df 
3 - dz + 3 — dzi = 0 
dz öz t 
ist, so besteht auf dem Rande (f — 0) auch die Identität 
(dz) 2 (z, Zi) _ (dzf} 2 I\ (z,z t ) 
( 1 ) 
IT (z — a(0 ) 
n{z l —a 1 W) 
Diese Relation ersetzt uns die Gleichung der Randkurve. In ihr sind «W die reellen Punkte 
der von einem Kreispunkte der Ebene ausgehenden Tangenten, d. h. die Brennpunkte der Kurve 
f — 0. Jede der beiden Seiten von (1) stellt also eine Funktion dar, welche sich auf dem Rande 
nicht ändert, wenn überall -f- % durch — i ersetzt wird. Denken wir uns das gegebene Flächenstück 
auf die Halbebene Y > 0 der Variabein Z = X-\-iY konform abgebildet, so nimmt die Funktion 
( 2 ) 
Sf_ 
dzi 
dz\ 2 
Iz\ = 
n (z—a(>)) \dZ 
IdzV 
\dZJ 
auf der reellen Axe reelle Werthe an und hat für gewisse Kurven überall den Charakter einer ganzen 
Funktion, ausgenommen allein diejenigen Punkte A<1), A©, . . . A( r ), welche den im Innern des ge- 
gebenen Flächenstückes liegenden Brennpunkten aX 1 ), a©, . . . «W entsprechen. In diesen Punkten A 
hat die Funktion (2) als Funktion von Z Verzweigungspunkte, und die Art der Verzweigung muss 
für die Variable Z dieselbe sein, wie für die Variable z. Damit aber die Funktion (2) reelle Werte 
annehme für reelle Werte von muss sie sich auch in den Punkten Ajt 1 ), AJ 2 ), . . . AfD, welche 
zu den Punkten A konjugiert imaginär sind, in entsprechender Weise verhalten. Die fraglichen 
Kurven sind diejenigen, für welche (oder eine Potenz von <#>) eine Funktion von z allein ist. Dies 
tritt ein bei der Ellipse,*) ferner bei der Kurve dritter Ordnung, welche durch die Kreispunkte 
hindurchgeht, und bei der Kurve vierter Ordnung, welche in jedem Kreispunkte einen Doppelpunkt 
hat, ferner bei allen Kurven, deren Gleichung in der Form 
( 3 ) 
azP -f- cc 1 z 1 n + ß - 0 
geschrieben werden kann, wenn « zu konjugiert und ß reell ist. Es folgt hieraus, dass für diese 
Kurve die Abbildung durch eine Gleichung der Form 
( 4 ) 
dz V <P 
dZ V 
V II (z — tt(Ü) 
V n[Z—A «0 {Z— Ai«) 
vermittelt wird, wenn ‘P eine passend gewählte ganze rationale Funktion von Z bezeichnet. 
Die vorstehenden Beispiele scheinen den Weg anzudeuten, wie man für beliebige alge- 
braische Kurven das entsprechende Problem wird anzufassen haben. Darauf bezügliche Unter- 
suchungen, die mich seit lange beschäftigen, hoffe ich bald zum Abschlüsse bringen zu können. 
*) Alsdann ergiebt sich direkt die von Herrn Schwarz aufgestellte Formel, Gesammelte 
Abhandlungen, Bd. II. pag. 77, 102 und 141. 
