Beweis. 
t t t t 
Wir wollen das Je -f- l te Glied der Vertikalreihe V V V • ■ also V suchen, wobei t, wie 
0 12 fi 
wir uns ausdrücken wollen, der n + l ten Gruppe angehören, d. h. 
na<Ct << (n + 1) a 
sein soll. Zu dem Zwecke summieren wir die Produkte der richtig kombinierten Glieder der 
U- Reihe und der T-Reihe, nach Multiplikation mit den betreffenden Zahlen b 2 • ■ • , aus den voran- 
gehenden ( n — Je) Gruppen (die Gruppe zu a Gliedern gezählt) und fügen dann schliesslich die 
(t — na) Glieder der folgenden Gruppe hinzu. Sei nun das x te Glied der Z7- Reihe: 
(3) U x = A 0 x l + A x X*- ~ 1 + Ä 2 X* ~ 2 + • • • + Ax 
und das y te Glied einer T- Reihe: 
(4) Ty = %y l -+- + a 2 y l ~ 2 + • • • + a^. 
Sind dies bequemerer Darstellung wegen gleichzeitig die Anfangsglieder einer Gruppe, so 
ist die Summe der dieser Gruppe angehörenden Glieder: 
(5) 
8 = h U K 
T y + h U x 1 T y _\_ 1 + b 3 U x + : 
l y + 2 
+ 
-|- a — 1 a — 1 • 
t 
Um nun das l te Glied der Vertikalreihe, also U 0 zu erlangen, ist in S der Reihe nach: 
/ß , ix = 1 t x = a + 1 ( x = 2 a -4- 1 ( x = (n — 1) a + 1 
I y = 1 | y — a + 1 I y = 2 a + 1 | y = (n — 1) a + 1 
zu setzen, und sind dann diese n Ausdrücke zu addieren; dazu kommt noch 
(7) 
( 8 ) 
& 1 {Px T y) x = na + l + h ( U x T y) x = na + 2 + ' ’ ' + b t - na { U x T y)x=t 
y = na 1 y — na 2 y = t 
Um aber das Glied derselben Vertikalreihe zu erhalten, ist in 8 successive: 
x — ah + 1 
y = 1 
x — a (k + 1) + 1 
y = o+ 1 
... (* = 
1 y = 
x = (n ■ 
( n ■ 
1) a + 1 
1 — k) a + 1 
zu setzen, und sind dann die entstehenden n — k Ausdrücke zu addieren; dazu noch die Summe (7) 
mit bezüglich: 
(9) y — {n — k) a + 1, (n — k) a + 2, • • •, t — ka, 
während x die obigen Werte na-)- 1, mH- 2, • • • t beibehält. 
In irgend ein Glied des Produktes U x T y wie 
Ax-p xPyi 
haben wir also nach (8) 
x = 1 + a (h + k), y = 1 + ah h = 0, 1, 2, • • • (n — k — 1)- 
zu setzen, um ein Glied des ersten Summanden von S zu bekommen, dann haben wir 
x — 2 -f- a (h -f 1c), y = 2 + ah 
zu setzen, um das betreffende Glied des zweiten Summanden zu finden*) und so fort; oder: wirsetzen 
(10) x — « + a (h + k), y — « -f- ah 
entwickeln xP yi nach Potenzen von «, nehmen dann successive a = 1,2, • • a und führen die 
Summation gemäss (5) aus. Dann ist der Gesammtcoefficient von A^ _ p a^_ q in S: 
*) Eigentlich wäre in A^ _ p _ q [x + l~f (y + 1) ? als betreffendes Glied von U x _^_ 1 T y _ |_ t 
wieder x = 1 a {h + k), y = 1 + ah zu setzen, doch kommt dies mit der obigen Substitution auf 
dasselbe heraus. 
