= \ j aP + v(h-{- k)P te-haP + v-ilpQi + Tc)p ~ 1 M ■+■ q (h + k)P M ~ ^ -i- ■ ■ • [ 
H- b 2 | aP + i (Ji k)'P hi -+- 2aP + i - 1 (p (a 4- h)v — i JiP + g (7t -f- 7c> hi — *) + ■ ■ r {■ 
H- etc. 
= “ 1 “ % (Ji -f' k)p JiV (b± -f~ & a ) 
-f aP + ?-i( i >(7i + *)2>-i74 + r Z (7i + 7f)P/j?-i)(6 1 -t-2ö 3 + • • • -+- ab a ) 
■+• clP "b i — 2 ( (p ) 2 (A + ~^ki -f- (p)i (g)i (® 4- /M — 1 — - 1 4~ ( 2)2 {h -j- h)P hi — (b± + 2-ö 3 + ■ • ■ 4- ct 2 5 a ) 
-+- etc. 
Daher fällt wegen der Bedingung (2) ciP + i Qi A- k)v hi fort, während alle anderen Glieder bestehen 
bleiben. Die hauptsächlichste Aufgabe des Beweises ist es nun, darzuthun, dass die höchste 
Potenz von Je, welche nach der Summation nach h bestehen bleibt, die grössere der 
beiden : 
p te oder q te 
nicht übersteigt. Es ist dabei als glücklicher Umstand zu betrachten, dass dieser Beweis nicht 
nur für jedes Produkt xV yi , sondern auch für den Coefficienten jeder Potenz von cc, nach denen 
ersterer entwickelt wird, einzeln sich führen lässt, sodass weder A 0 A ^ A 2 ■ ■ • und a 0 a 2 ■ ■ ■ , 
noch a in die Rechnung ein geht. 
(d. h. zur Abkürzung): 
u = a (h -j- 7c), v — ah . . . (11) 
Es ist aber, wenn z. A. 
gesetzt wird: 
xP yi = 
und der Ooefficient von « T ist: 
uP vi 4- « ((g)i uP vi ~ 1 + (p)^ yp—^vi) -f etc (12) 
C T = (<£) T 'uPvi — T-f- (p) t {q) T _ 1 wP — 1 vi — T + 1 + (p)s (s)t — 2' iiP ~ 2 vS ~ T + 2 + ' - ' + (p)t uP ~ t i>i. (13) 
Darin soll zunächst 
q — r >2 ( 14 ) 
vorausgesetzt werden. In C T muss jetzt h die vorhin angegebenen Werte 0, 1, 2, • ■ • (n — k — 1 ) er- 
halten und dann die Summation ausgeführt werden. Dazu bedürfen wir der bekannten Formeln: 
n — 7c — 1 
^7t 7t° = 71 — 7c 
0 
n — Je — 1 
J/i h = 
0 
v* 7 , - 
(n — 7c) 
(15) 
und für r )> 1 : 
n — 7c — 1 
Al h r = 
(n — k) r + 1 (11 — k) r 
r + 1 
■Mi 
2 
Di 
(n ■ 
B 2 
k) r ~ 1 — M 3 - 4 - (n — k) r ~ 3 ± etc., . (16) 
2 1 2 
worin D 3 B 2 etc. die Bernoullischen Zahlen sind. Diese Formeln können wir nach fallenden Po- 
tenzen von k ordnen und erhalten, wenn wir ausser der Bernoullischen Funktion: 
gYll -|— 1 gftl 
■Sfe-'-iS+T-T + fr-V 
Di 
. z m- 
1 
M); 
d 2 
3 T 
vm — 3 
+ ■ 
( 17 ) 
noch eine mit dieser eng zusammenhängende: 
z 2m z 2 in — 1 ß ß 
ß C, 2m -i) = - — — — ^ f- (2m — 1), ^ j2m “ 3 “ (2m — 1) 3 ~ z- m - 4 it . ■ ■ 
+ (- 1)~ (2m - l) a „ _ s + (- 1)» + 1 2 % 
JB 
= 5(z,2«-l) + (-l)»> + i~ (18) 
Schriften der Physfkal.-ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXYI. 
10 
