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Wir betrachten nun die ausgeschlossenen Fälle. Ist p > q und q — r=l, so verhält sich 
in (24) ^hi — T + a für a = 0, irregulär, daher verschwinden in der Summe nicht alle Coefficienten 
von höheren als der <? ten Potenz von k, wie aus (26) folgen würde; da aber andererseits für 
die ersten beiden Glieder regulär sind, so dürfen wir 
m = p -\- q — r-f 1 = p -f- 2 und in = p + q — t — p-\-l 
aber nicht mehr m—p setzen, es verschwinden also die Coefficienten von hv + 2 und kP + 1 aber 
nicht mehr von kP. 
Ist q t = 0 , also, für a = 0, M~ T + a = so ist nur das erste Glied von 
regulär, also dürfen wir nur 
m — p-\r q — t -|- 1 = p + 1 
setzen, es verschwindet also nur der Coefficient von /cP + t, nicht mehr derjenige von kP. 
Da nun aber p-\-q — r-f-1 (für gj>r) der höchste aller überhaupt vorkommenden Ex- 
n — Je — 1 
ponenten ist, so können wir sagen: In V, C T verschwinden die Coefficienten aller Potenzen 
h = 1 
kP + 1, kP 4- 2 . . . , kP + i — T + 1. 
Ist p <(q und gleichzeitig p — r = 0, so geht er von 0 bis p- für a —p ist der Coefficient (25) 
von k m : ( — l) m ß(n,p)(q) 1 _ m dies ist für m= q (u == 0) von 0 verschieden, für q Null; dies 
letztere Resultat wird auch durch den Beweis ad II bestätigt; der Fall a<(p ist regulär aber 
bedeutungslos, weil m den Bedingungen m^> q — (p — ff), m^q genügen muss. Ist p — r> 0, so 
bleibt ohne Weiteres das allgemeine Resultat bestehen. 
Ist endlich entweder p~>q und q — t <( 0 oder p^Cq und p — r < 0, oder auch gleichzeitig 
T t>p, T Oq (welche Fälle sämtlich eintreten können, da t bis p -j- q wächst), so kann die Summation 
von C T nach li, wie direct aus (18), worin Glieder von einer oder auch von beiden Seiten her ver- 
schwinden, ersichtlich, höchstens auf kP beziehentlich auf kl führen. Damit ist die obige Behauptung 
vollständig bewiesen. 
Wir kommen zum Schluss. Höchstens ist p — 1, q = 1, also ist die nach Vorschrift ge- 
bildete Summe der Gruppen vom l ten Grade für k. Dazu kommt noch der Ausdruck (7) mit den in 
(9) und folgendem Text angegebenen Werten für x und y. Dieser ist auch vom Grade ). ,und somit 
t 
V,. vom Grade 2. Damit ist der Satz selbst bewiesen. 
Erstei’ Zusatz. 
t 
Die Vertikalreihe V k am Ende der m ton Gruppe, d. h. für t = na enthält n Glieder, welche 
aus dem allgemeinen durch die Substitutionen k = 0,1,2, • • ■ n — 1 entstehen; das nächste Glied 
wird durch den Wert k = n erhalten werden ; nun ist aber, wie aus den ursprünglichen Ausdrücken . 
(15) und (16) für y\h r hervorhebt, für alle diese Summen die Zahl (n — k) ein Faktor, also muss 
na 
diese auch ein Faktor von V h sein, d. h. das n A l te Glied (welches für k — n entsteht), oder die 
Fortsetzung dieser Reihe ist eine Null. Dies gilt auch bereits für n = (2 + 1), £ = (2-J-l)a, 
t t t 
d. h. betrachtet man die Zahlen F 0 ■ ■ ■ F;„ ( t = (2 + 1) a) als Anfangsglieder einer 
arithmetischen Reihe 2 ten Grades, so ist ihr folgendes (2-p2 tes ) Glied gleich Null. 
Zweiter Zusatz. 
Ist die Reihe T wie bisher vom 2 t en ) aber die Reihe U vom ,a ten Grade und p O 2, so bleibt 
der Grad der Reihe V der 2 te , erhöht sich aber auf den wenn ( u > 2 ist. 
