Wir machen von dem vorigen Satze eine Anwendung, indem wir den folgenden beweisen: 
Lehrsatz II. 
Wenn man, p und r als positive ganze Zahlen vorausgesetzt, 
(mr 
nach Potenzen von x entwickelt, die Entwickekingscoefficienten mit den Gliedern einer beliebigen 
arithmetischen Reihe r — l ten oder geringeren Grades multipliziert und diese Produkte wiederum mit 
den wiederkehrenden Zahlen b v b 2 , b 3 , ■ ■ ■ b p , b 2 , b 2 , etc., welche der Bedingung 
b l -'rb 2 + b p — 0 (29) 
zu genügen haben, so ist die Summe aller dieser Produkte Null. 
Beweis. 
/I _ T p\r r r 
Sei j = (l-\-x + x 2 -\ f xP - i)r = 1 + M 1 x H b M r (p _ 1} X? iP ~ B . . (30) 
dann ist: 
1 — ( ’r\ xP + (r) 2 x 2 v + • • • ± x r P = (1 + AI 1 x + M% x 2 + • • ■ + M r ^ x r (P - D) 
• (1 — (r) x x + (r) 2 x 2 ■ • • ± x r ) (31) 
und hierdurch findet man ohne besondere Schwierigkeit: 
M h = (r + h — 1),. _ 1 
M p _^ h = (r+p -f h — l) r _ i — (r) t (r -f h — l) r _ 1 
}• • (32) 
M 2p h — ( r + 2p + h — 1),. _ i — (r) t (r -hp-h h— l) r _ 1 + (r) 2 (r + li — 1),. _ 1 j 
h — 0, 1, 2, ■ • • p — 1. ) 
etc. 
Dabei lässt sich mit Hülfe des Arndtschen Satzes leicht beweisen, dass die gleich weit von 
der Mitte abstehenden Coefficienten einander gleich sind. 
Die arithmetische Reihe des Satzes sei nunmehr U 2 U 2 U 3 
r (P — 1) -f- 1 r 
2h b h U h M h _ 1 = 0, 
l 
wobei: b p + h = b 2p + h = • ■ ■ = b h ist. 
r 
Die Coefficienten M h können wir in folgender Art gebildet denken: wir schreiben die 
Reihe (r — l) ten Grades hin: 
(0) r _ 1 (l) r _ 1 ---(r-2) r _ 1 (r-l) f ._ 1 (r) r _ 1 ....(r J> -l) r _ 1 .... (34) 
welche mit r — 1 Nullen beginnt und im Ganzen rp Glieder besitzt, diese teilen wir in r Gruppen 
zu je p Gliedern; unter (34) schreiben wir dieselbe Reihe, um p Glieder nach rechts verschoben, 
wieder hin, darunter, wieder um p Glieder verschoben, nochmals u. s. w. ganz wie es im vorigen 
Satze mit der Reihe T, mit der wir die obige (34), T h = (h — l) r _ setzend, vergleichen, geschehen 
ist, bis im Ganzen r Reihen untereinander stehen, von denen die letzten möglicherweise nur aus 
Nullen bestehen können und deren letzte p Glieder hat. Multiplizieren wir nun untereinanderstehende 
• • •, dann behauptet derselbe: 
(33) 
