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von deren n — 1 Wurzeln (a, b, ... f) k Wurzeln diejenigen von (3) sind, die Beziehung 
( 6 ) * ö"* ' I- «1 — 1 ~f- «2 ö’A — 2 “+ 1- a k-X a l + *«t = °> 
wobei 
( 7 ) a h = aK~\- b h + • • ■ + fh, 
und besitze die Gleichung 
(2) ........ x n + A x x n '~ 1 + x n ~ 2 -f • • • + A n = 0 
die Wurzeln a, b, . . . f, g] dann ist 
(8) K h ~ ^ii + A h _ i g + A h _ 2 g 2 +- • • ■ + A x g h — 1 + g h , 
(9) **_* = Sj_ Ä -0*-A, 
also ce h a k _ h ein Ausdruck vom k U:n Grade bezüglich g und folglich (6) von der Form 
(19) (S k -f- A 1 S k _ • • • 4- k A k ) + ff (g) — 0 
worin (p (g) eine ganze rationale Funktion höchstens k ten , also allerhöchstens (siehe (5)) n — l ten Grades 
von g ist, welche den Faktor g besitzt und deren Koeffizienten aus den Koeffizienten der Gleichung (2) 
und aus den für alleWurzeln derselben symmetrisch gebildeten Potenzsummen S h zusammengesetzt sind. 
Bildet man daher statt (5) eine Gleichung, welche die Wurzeln b, ... f, g hat und verfährt mit ihr 
in gleicher Art, wie mit (5) geschehen ist, so entsteht statt (10) die Gleichung 
A k S k i + ■ ■ • + k A' k ) + </>(«) = 0; 
ähnlich, wenn man eine der anderen Wurzeln der Gleichung (2) fortlässt; mit anderen Worten: die 
Gleichung 
(S k + A x S k _ 1 + • • • -f -k A k ) + (fi (as) = 0, 
deren Grad höchstens der n — l te ist, wird für die n Werte x = a, b, ... f, g erfüllt. Das ist nur 
dann möglich, wenn die Koeffizienten von x°, x 1 , x 2 , . . . einzeln verschwinden, es muss daher 
(1) Sic + ^1 S k __ x 4- ■ • • + A k _ x S k 4- k A k = 0 
sein. Diese Gleichung ist also unter Voraussetzung der Gültigkeit von (6), welche für n — 1 = k 
richtig- ist, durch den Schluss von n auf n 4- 1, allgemein bewiesen, wobei noch bemerkt werden 
mag, dass k von vorneherein ganz beliebig (gleich 1, 2, 8 etc.) gewählt werden darf. 
II. 
Mögen, bei beliebig aber fest angenommenem n, wieder die beiden Gleichungen (2) und (5) 
und somit auch (8) gelten. Setze ich dann in (3) k — n — 1 und dem entsprechend a h statt a hy 
a h statt S\, so tritt an Stelle der Gleichung (4) folgende: 
0 !) • • • • a n— 1 + ß l a n — 2 + a 2 a n— 3 + ' ' ‘ + a n — 2 ff l + ( n ~~ 1) “n — 1 = 0 
und darin ist, entsprechend (9), 
( 12 ) On-i-h^ Sn-l-h-Sf*- 1 ~ h 
Das Produkt welches _ aus (8) und (12) sich ergiebt, lässt sich, vermöge der 
Festsetzungen : 
A' s = 0 für s > h und für s < 0 
hL' s = A s für O^s^h 
