schreiben. Zwei Summanden der Summe sind: 
A h = (2r) 2h (2k-r) l; _ h (r - 2 h) 
und 
A r — h (2r) 2r _2/ ! (27c ■ r)j_ r ^. Ä (27t r); <C ^ 
die Summe derselben ist Null. Für ein gerades r verschwindet das Einzelglied mit h = — für sich 
selbst, ebenso verschwinden, wenn r < Je ist, die Glieder, für welche 7i > r ist, wegen des Factors 
(2 r) 2 h- Demgemäss verschwindet auch die ganze Summe in c k für alle nicht - negativen ganz- 
zahligen Werthe von r, die kleiner als 27c sind, und es lässt sich also 
c k = Cr (» — 1) (r — 2) ■ • • (r — 27c + 1) 
setzen, wo C eine Constante ist. Dieselbe ergiebt sich durch die Bemerkung, dass der Coefficient 
von v r — 2Jc i n F r _ 2 j die Einheit, dass also der betreffende Summand in c k (Gleichung (14) 
für 7t = 7c)( — l) ,c (2 r) 2i . ist, während der Factor hiervon die Bedeutung Eins erhält. Da aber r 2,i nur 
allein in diesem Summand vorkommt, folgt: 
g 2 k 
C = ( — l) /l und somit c 7 , = ( — l/ 1 2 2, ‘ (r) 9i . 
(2k)! ‘ 
Also wird nach (12) 
(15) X‘ = v r — (r) 2 2 2 v ~ “ •+■ (r) 4 2 4 v r ~ i • • • oder mit v — 2 w 
r — 1 
(— 1) 2 (r) r _ x w ... r unger. 
r 
(— 1) 2 • 1 r gerade 
(16) a X' = 2 r X“, X“ = w r — (r) 2 
(r) 
4 W 
r - 4 
Ganz in gleicher Art erhält man 
(16) b Y‘ = 2 r Y“, Y“ = (r) 1 w r - 1 — (r) 3 w r ~ 3 ± 
r — 1 
(- D~ 1 
r - 2 
(— 1) 2 (r) r __ x w . 
. r gerade 
Die Gleichung (7) ist dann (siehe die Gll. (10) (11) (16a) (16b)^): 
(17) b (2t) r X“ — a (2 ff Y" = 0 oder: b X“ — a Y“ = 0. 
Diese hat genau dieselbe Form wie Gl. (7), bezeichne ich die linke Seite von (17) als 
xp ( w , r ), so ist die linke Seite von (7) für n = 2 r : rp(t,2r). Hat (17) r reelle von einander ver- 
schiedene Wurzeln*), so folgen aus jeder vermittelst der Gleichungen (9) und (15) zwei verschiedene 
reelle Wurzeln für t, etwa t '= t\ und t = — l/tp, auch können nicht irgend zwei von verschiedenen 
Werthen von w, wie w und w‘, herrührende Wurzeln, etwa t und t‘ einander gleich sein, denn 
dann wäre 
t : — = f das ist iv — w\ 
was gegen die Voraussetzung ist. Diese 2 r Werthe von l sind dann aber die Wurzeln der Gl. (7), 
also hat (7) 2 r erforderliche Wurzeln. Daraus folgt also: 
W enn T r — i p (t, r) — 0 r reelle von einander verschiedene W urzeln hat, so hat 
T 2r = xp (t, 2 r) — 0 2r reelle von einander verschiedene Wurzeln. 
*) Statt „reelle von einander verschiedene Wurzeln“ zu sagen, werde ich der Kürze wegen 
öfters den Ausdruck „erforderliche Wurzeln“ gebrauchen. 
