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zu demselben Werthe gelangen ; es ist aber, was sich mit Hülfe des Imaginären oder auch, weniger 
einfach, ohne dessen Hülfe*) beweisen lässt: 
(20) X 2 + Y 2 = (1 + £ 2 ) m , 
und dieser Ausdruck ändert sich mit f 2 . 
Erster Zusatz. Quadrirt man die Gll. (6), so ergiebt sich aus (20): 
y 2m (X 2 + Y 2 ) = y 2m (1 + n m = a + b 2 , 
das ist nach (4): (x 2 + y 2 ) m = a 2 + b 2 , folglich sind die Moduln aller m ten Wurzeln einander gleich. 
Zweiter Zusatz. Setzt man in den Gll. (5) a und (5) b t — tgip, so erkennt man den 
Zusammenhang mit den Moivreschen Formeln. 
Dritter Zusatz. In dem Specialfalle b = 0 geht die zweite der Gll. (6) in y m Y — 0 über. 
Daraus folgt entweder y = 0 oder Y — 0 ; im ersten Falle folgt aus (1) x als einzige reelle 
m te Wurzel aus a. Im zweiten Falle ist Y = 0 die Gleichung (7), die jetzt vom (m — l) ten Grade 
für t wird, wofür sie also m — 1 erforderliche Wurzeln liefert, von denen jedoch je zwei einander 
entgegengesetzt gleich siud. Zwei solcher Wurzeln wie t\ und — führen X in bez. X^ und — X* 
über, woraus nach (6) die beiden Werthe für y: 
m 
folgen; hieraus: a "i=y\t l , x\ — ( — y{) (— t\) = a?j, also entstehen zwei conjugirte Wurzeln Xi~\-y 1 i 
und Xi — yi i, und im Ganzen , ' solcher Paare, die, wie früher, von einander verschieden sind, 
weil (1 -p t 2 ) m 1 verschiedene Wei-t-he annimmt. — 
II. n gerade = 2 P ni, wo p eine ganze, m eine ungerade Zahl ist. 
Wir ziehen zuerst die Quadratwurzel, indem wir von den Auflösungen der Gl. (18) diejenige, 
t, benutzen, welche das Zeichen von b hat, wodurch b/Y = bßt positiv wird, dadurch folgen aus (6) 
und (4) die beiden reellen Werthpaare: 
j y,= -] 
( x 2 = — 2/1 1 . 
yi - +]/ ^ 
und hieraus die beiden Wurzeln aus a-j-bi: ± (a-'i + i) , die wir als und a 2 = — «i bezeichnen. 
Durch fortgesetztes Quadratwurzelziehen erhalten wir ein Schema folgender Art: 
(a + b i) 
«1 a 2 
ßl ß-2 ßs ßi 
Yl 72 73 74 75 76 77 78 
etc. 
*) Man ersetze in der identischen Gleichung: 
(1 + t) m (1 — t) m = (1 — * 2 )’» 
die m ten Potenzen durch ihre Entwickelungen nach dem binomischen Lehrsatz und bilde Gleichungen 
durch Vergleich der gleich hohen Potenzen von t. Zu den Ausdrücken auf den linken Seiten dieser 
Gleichungen wird man durch Bildung von X 2 + Y 2 geführt, nnd deren Summation erlangt man 
durch die rechten Seiten. 
