Bezeichnen wir den Quotienten Q n : Q n _ 1 mit U n , so war in dem citierten in diesen Schriften 
enthaltenen Auszug (Gl. (8)1 die Funktionalgleichung 
( 3 ) TJ n (TJ n + 1 — a n ) + b n = 0 
aufgestellt, und waren Kriterien für das Verhalten des Kettenbruchs angegeben, die wir in etwas anderer 
Fassung hier reproduzieren: 
Wenn sich U n aus (3) für endliche Werte von n als Funktion von n bestimmen, oder wenn 
sich für imendliche Werte von n ein Grenzwert, besser gesagt: eine Grenzfunktion finden lässt, welche 
für U n und mit Aenderung von n in n + 1 für U n _j_ 1 in (3) eingesetzt, die Gl. mit verschwindendem 
Fehler befriedigt, so findet Oscillation des Kbrs. nicht statt: 
In diesem F alle ist : 
X=(N 2 -N 1 ) + (N s 
und (a. a. O. ( 6 )): 
Daher gelten die Regeln: 
■^2) + ' ' ' + ( N n — N n— l) + ( N n + 1 — N n) + ' ' ' 
-^n -|- 1 
N„ - JV„ 
— U 
1. Ist von Anfang oder von einem endlichen Index n = n 0 an: 
a„ 
b -=K ü » 
1 > 1 , 
so hat der Kbr. X einen endlichen Wert. 
2. Ist R n «y 1, so hat der Kbr. einen unendlich grossen Wert. 
3. Ist Il n = 1 - 4 - d )( , lim d n = 0, so hat der Kbr. einen endlichen oder unendlich grossen Wert, 
je nachdem »^>1 oder < 1 ist. 
4. Lässt sich für U„ oder — U„ keine Grenzfunktion finden, so oscilliert der Kbr.*) 
n 7 n 
*) Die obige 4. Regel ist folgendermassen zu verstehen. Trägt man auf einer Abscissenaxe die 
a n 
Werte von n, und als Ordinalen dazu die Werte von U n , von einem behebigen Anfangswerte aus- 
gehend, auf, so müssen die Endpunkte der Ordinaten oder, was auf dasselbe hinauskommt, der um die 
Einheit verminderten Ordinaten so über die ganze Ebene zerstreut liegen, dass sich kein von zwei 
geraden Linien begrenzter unendlicher Streifen finden lässt, welcher frei von solchen Punkten bliebe. 
Um dies durch ein Beispiel des Gegensatzes klar zu machen, fasse man, entsprechend der Bedeutung von 
für die Reihe ^(N n i 1 — W n ), die reciproken Werte der Gliederquotienten bei der con- 
vergenten Reihe: 
, ' 1 . 1 
1 + - 
1 
■p“ 
4- 
T n i av 
1 
1 
9! 42 
10 ! 
10 ! 11 ! 12 ! 
- Töl + etc - 
2! 1 3! 2 2 4! 5! 6 ! 1 3 2 1 7 ! 
in’s Auge, also die Zahlen : 
2 2 4 ! „ 32 7 ! 42 
(a) . . 2, 3, gy , -fß- ,5,6, gy , -p- ,8,9, yp , 
dann hegt die Zahlengruppe : 2 , 3, 5, 6, 8,9 etc. auf zwei einander parallelen geraden Linien, und die Zahlen 
/ 2 2 32 4 2 
\T T ’ DT ’ "9T 
2, 3, g j > 92 1 ^ ® ’ 0 ! > 32 >8,9, 9 [ ’ 42 ’ 11 ’ 1“ ’ 
uppe :2, 3, 5, 6 , 8,9 etc. auf zwei einander parallelen geraden I 
• ^ sind Punkte einer Kurve, die sich der Abscissenaxe asymptotisch nähert, wobei 
es unwesentlich ist, dass dieselbe unterhalb der Abscissenaxe sich befindet. Der Flächenstreifen zwischen 
diesen beiden Kurven bleibt von den Zahlen (a) ganz frei, ebenso der Raum unterhalb der 
letzteren, wie auch derjenige zwischen der oberen geraden Linie und der rasch in’s Unendliche steigenden 
Kurve der Zahlen 
4 ! 7 ! 10 ! 
etc. — 
Schriften der Physikal. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XL. 
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