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Diese Regeln, welche für den dortigen Spezialfall ein einfaches Kriterium lieferten, sollen nun 
jetzt zu allgemeinen Kriterien für reguläre Kettenbrüche umgeformt werden. Dieselben stimmen 
in einem wesentlichen Punkte mit einem in neuerer Zeit von Herrn Pringsheim veröffentlichten*) 
überein, doch ist das seinige, sowie auch seine Anfangsbedingung, eben seiner umfassenden An- 
forderungen wegen, für reguläre Kettenbrüche zu beschränkend und lässt deren Charakter (ob Divergenz 
oder Oscillation) im Falle der Nichterfüllung der Kriterien nicht beurteilen. 
Soll aus der GL (3) ein reeller Wert für TJ n , der zu einer Grenzfunktion führt, sich finden 
lassen, so kann U n ^_ 1 nur ein positiver Bruchteil von a n , etwa 
( 4 ) U n 1 ==| &„ a n 
und demnach 
(5) ü n =& n _ 1 a n _ 1 °< <1 
( — l ] 
sein, also wird aus (3), wenn wir die Abkürzung 
/£} , ^>1 
( 6 ) t = 
a n a n - 1 
einführen : 
(7) 
woraus : 
(8) oder (9) 0 ^ 1 - ~'A± 1 . 
u n — 1 
Nach den über a n und b n gemachten Voraussetzungen muss von einem gewissen n an t 
dauernd wachsen oder dauernd abnehmen oder konstant bleiben. 
Sei zuerst dies Letztere der Fall und zwar sei, unabhängig von n: 
(10) '.=|; 
dann ist (7) durch die Annahme: 
(ID ®» |l = = Y 
oder allgemeiner durch die Annahme: 
^ 
aufzulösen, wo c eine beliebige Constante ist. Bezeichnen wir nun eine nach dem Gesetz, welches für 
a n von n — 2 an gilt, mit n = 1 gebildete Grösse als so ist einerseits nach (5) : 
ZJ 2 — &i ä x , 
andererseits, der Bedeutung von TJ n zufolge: 
tt _Q 2 _ 
U *~Q~ a i’ 
*) Dasselbe befindet sich in einem interessanten Aufsatz über Kettenbrüche mit beliebigen, 
reellen oder complexen, Teilzählern und Teilnennern und sagt aus: ein solcher Kettenbruch convergiert 
„unbedingt“, d. h. jeder Teil X k (s. Gl. (2)) convergiert ebenfalls, wenn 
oder etwas allgemeiner, wenn 
b 2 
a \ a 2 
a „ a 
V — 1 V 
<1 
4 
3 
h 
1 
<ö-, 
^2 v + 1 
-F 
b 2 v _|_ 2 
6^1 Uo 
v a 2 v _)_ l 
a 2 v -(- 1 a 2 v _|_ 2 
Sitzungsber. der K. bayer. Akad. d. Wissensch. 1898, Bd. XXVIII S. 295 — 324, insbes. S. 323. 
