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folglich : 
(13) ~ ; 
1 a y 
Damit ergiebt sich aus (12) für n — 2: 
2(1 ©i) 
c 2 ® r r 
ist also 
,,,, 1 _ h 1 
9 “l ’ n n 9 ’ 
so ist: 
®l = ~2 ’ c ~ GC) ’ ®n = 2 " ’ 
in jedem anderen Falle ist c eine endliche Grösse. Nun folgt die in den Kegeln 1 bis 3 vorkommende 
Grösse R nach (5), (6), (10) und 12: 
(15) E = — - 1 =2(2ö I1 _ 1 -l)+l = H - j 
r n n 1 n-j-c— 1 
Daher ist nach der Kegel 3 der Kbr. X im allgemeinen Falle convergent ; nur wenn für a, die Be- 
dingung (14) erfüllt wird, hat er einen unendlich grossen Wert, daraus folgt aber: 
_ 1 
X~2 4T , 
und demnach finden wir den Wert des Kettenbruches X allgemein, wenn r n = Aist: 
(16) X= = r- 
Diese Methode, den Wert eines Kbr. zu finden, bleibt wie sich zeigen wird, nicht auf den 
Spezialfall, dass t ist, beschränkt. 
4 : 
Sei nunmehr: 
1 lim = 1 
< 17) ’»<!■ „=«/“< 4 ’ 
In diesem Falle hat die quadratische Gleichung 
( 18 ) 0(1 — ®)=r n 
n n n 
reelle positive Wurzeln, sie seien ©^und 0 < 0. Man kann jede derselben als Näherungswert für eine 
Auflösung der Gl. (7) benutzen. Insbesondere liegt die zweite, kleinere, Auflösung dieser 
Gleichung, welche wegen des Mangels jeder willkürlichen Constanten als singulare be- 
n 
zeichnet werden mag, (0 n _ 1 ) zwischen ©^und einer davon sehr wenig verschiedenen 
anderen Funktion. 
Somit ist es immer möglich (& _A bei hinreichend grossem n mit beliebiger Genauig- 
v n ±/ n 
keit zu ermitteln; ist es aber auch möglich, (© n _ 1 ) für jeden Wert von n mit beliebiger Genauigkeit 
(oder absolut genau) anzugeben — was im Allgemeinen nicht der Fall ist — und hat man (vgl. (13)): 
(19) a 1 = (© 1 ) «i, 
so ist dauernd 
®n - l — ( & n - i) n ’ 
n 
was sich unmittelbar aus (7) ergiebt, und diese Funktion nähert sich mit wachsendem n dem 0 . Bei 
b* 
