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n 
jedem anderen Anfangswert von G n _ 1 , nähert sich letzteres mit wachsendem n dem © . 
Der Beweis für diese Behauptungen, der natürlich erbracht werden muss, kann seines Umfangs 
wegen au dieser Stelle nicht gegeben werden, hingegen lässt sich leicht zeigen, dass der Kbr. X im 
ersten Falle einen unendlich grossen, im zweiten Falle einen endlichen Wert hat. 
Es ist nämlich: 
(15) 
B = — — - 1 
also im ersten Falle mit wachsender Genauigkeit: 
®n 1 
E = — — 1 = 1 < 1 , 
r n 
im zweiten Falle mit wachsender Genauigkeit: 
«i 1 
E = — -1 = 1 > 1 , 
I. n 
« 1 » ] 11 
da Gj > — , &jj < , womit der Beweis geführt ist. Nur im Falle, dass r n < — , hm r n = -ß , 
der Beweis einer kleinen Modifikation, welche hier übergangen werden mag. 
bedarf 
Ist also t 1 , lim r ^ 1 , so hat der Kettenbruch einen bestimmten end- 
» ^ 4 n ^ 4 
liehen oder unendlich grossen Wert, je nachdem Gi. (19) für nicht erfüllt oder er- 
füllt wird. 
Aus dem Vorangehenden ergiebt sich aber noch das folgende Kesultat: 
Verstehen wir unter einer „in geschlossenem Ausdruck darstellbaren Funktion von n“ eine 
solche, deren Wert sich für jeden — mindestens für jeden ganzzahligen positiven — Wert von n mit ab- 
soluter oder mit beliebig grosser Genauigkeit auffinden lässt, so können wir (siehe (19) und vgl. (16)) sagen: 
Wenn (©„) n in geschlossenem Ausdruck darstellbar ist, so ist dasselbe auch mit dem 
Kettenbruch X der Fall, und zwar ist: 
1 
( 20 ) 
,Y = 
a-, — (©,) 
Beispiel. Für den Kbr. X sei: 
1 n -)- 1 
Dann ist 
also nach (20): 
a n=2 C ' ’ b * = c ~ ' c = 25 "> n > 2 - 
4 
25 
» 4 ” 1 i 1 1 2 625 
Ö i ~ 5 ’ Ö u — 5 ’ ~ i) n — ( 0 «) n ~ 5 ’ — 2 C — 2 
üi — 62,5 
Z. 
»“AfölcVtf) Mi)---- 
Es muss also der Kbr. : 
