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multipliziert man diese Eeihe mit dv und integriert von 0 bis x, wobei x eine beliebige positive Zahl 
bedeutet, so erhält man: x 
rv>ü - zv >2 TI 1 / <1j2w 
. (2) «».-.- 7± - + (- ir -‘£= - +l - ir — 
d v . 
Das Integral in (2) soll umgeformt werden. 1 ) Es ist durch partielle Integration: 
X X 
f v 2m dv a;2i»+i 1 2r f i;2>«+2 
I (1 -f- v 2 ) r 2m -[- 1 (l-\-x 2 ) r 2m-|-l f (1 -(- w 2 ) , '+ 1 
0 ‘o 
Setzt man hierin für m der Eeihe nach n, n - (- 1, n-\- 2, w-j-p — 1 und gleichzeitig für r 
beziehungsweise 1 , 2 , 3 , • • • , p , so entstehen die Gleichungen : 
X 
f v 2n + 2 d v 
(3) 
v 2n dv 
x 2n + 1 
1 
2 
1+v 2 
2n -(- 1 
1 — |— er 2 
2 W + 1 
lßn-\- 2 d v 
x 2ti 4- 3 
1 
4 
(1 -j- U 2 ) 2 
2 n -f 3 
(1 -f- :r 2 ) 2 
2n -j- 3 
v 2 dv 
x 2n + 5 
. 1 
6 
(1 v 2 f 
2n-j- 5 
(1 -f- er 2 ) 3 
2n-j-5 
, 2\2 
(1 -j-«; 2 )' 
v 2n + 4 d V 
(1 -j- V 2 f 
v 2n + 6 dv 
( 1+« 8 ) 4 
v 2n + 2p — 2 d v x 2n-\-2p — 1 
1 . 2 p j V 2n + 2/> dv 
J (1 -j- v 2 )p 2 n -f- 2p — 1 (1 -j- x 2 )v 2n -)- 2p — 1 J (1 — v 2 )p + 1 
0 0 
Bedeutet nun § eine zwischen 0 und x gelegene nicht näher bekannte Zahl, so ist das letzte 
Integral auf der rechten Seite 
V 2n -|- 2p dv 
£2p 
(l + v 2 )/' + 1 (l-f£ 2 )P + t J 
o o 
v 2n dv ; 
jetzt tritt das Maximum des Ausdrucks yv : (1 -j— z/)P H- 1 für y=p ein, also ist: 
(4) 
v 2n + 2 p dv 
(1 -f V 2 )P + 1 
= 
pP 
K 2n -f- 1 
{p -j- 1 )p + 1 2n -j- 1 
0 < Aj < 1 
1) Da dies Integral kleiner ist als j v 2n dv, so kann man die Eeihe für arc tg x mit einem 
o 
Bruchteil irgend eines Gliedes, auch für x > 1, abbrechen, wodurch es ermöglicht wird, Integrale wie 
00 
l arc tg x ■ e~ ax dx 
o 
in convergente oder semiconvergente Eeihen zu entwickeln. 
