Multiplizieren wir die Gleichungen (3) und (4) beziehungsweise mit den Faktoren : 
1 , 
2-4 
4 • • • • (2p — 2) 
und 
2 ■ 4 ■■■■ (2p) 
2 n + 1 (2 n -f- 1) (2 n -j- 3) (2 n -j- 1) ■ • ■ (2n -]- 2p — -3) (2 n — )— 1) * • ■ (2 « -[-2 p — 1) 
so ergiebt die Addition die Entwickelung 
(5) 
/ v 2n d v x 2n — 1 1 
, x 2 2 
( x 2 
n 2,4 i 
^ X 2 \ 
1 1 -j- v 2 2n -j- 1 | 
I 1 + x 2 1 2n -j- 3 ’ 
U + x 2 , 
1 1 (2 n -j- 3) (2 n -j- 5) ^ 
+ ' 
\ o 
2 • 4 • • ■ (2p 2) , 
C X 2 'S 
{ , 2 • 4 ■ ■ ■ (2p — 2) , 
^ P ^ 
r +1 j 
1 (2m+ 3) (2n -j- 5) • • • (2 m-)- 2p — 1) " 
V 1 -f~ * 2 y 
' 2n-\~l (2m - f 3) ■ • (2n-[-2p — 1) ' 
und insbesondere für n — 0 
I r 
( 6 ) 
) . 
\ o 
I 
dv 
- — arc tg x = 
1 i 
x 2 2 | 
' * 2 V, 
2-4 / 
x 2 \ 3 
1+^ 
X | 
1+x 2 ' 3 ^ 
cl + X 2 j 
3 ■ 5 ' 
,1 + X 2 j 
2-4.. 
• (2p- 
-2) / x 2 N 
\P 
1 + 2 X 2 • 
2 - 4 • ■ 
•(2p -2) 
1 3 - 5 • • 
• (2 p 
— 1) \ 1 — |— x 2 . 
3 • 5 ■ ■ 
•(2p-l) 
+ 
(j^r 
Die Restglieder in (5) und (6) können noch auf andere Form gebracht werden; an Stelle von 
(4) können wir auch schreiben 
v 2 n -\~%p dv ( v 2n — 2 iflp -f- 2 d v 
(l + y 2 )P + l = / (1 + 
v 2 P + 2 d v / £ 2 
v 2 )p + 1 — V i + s* ) 
P ~{- 1 -rin — 1 
2 n — 1 
o o 
wobei | zwischer 0 und x liegt, also auch, da | 2 : ( 1 — )— f 2 ) mit | monoton wächst: 
v 2n + 2 p d v x‘‘ 
(1 -(- v 2 )p + 1 2 n 
— V 
1 \ 1 — (— X 2 / 
2 \P + 1 
0 < © < 1 . 
demnach wird das Restglied innerhalb der Klammer auf der rechten Seite von (5) 
2m -4- 1 2 • 4 • • • (2p) 
(7 
2m — 1 (2n -f 1) ■ • • (2 n + 2p 
/ x 2 Y + 1 . 
1) \ 1 -f- X 2 / 
ist jedoch m = 0, so genügt uns die Kenntnis, dass das Integral 
v 2 P d v 
(1 -f- v 2 )P + 1 
immer, auch für x — co,. 
einen endlichen Wert, etwa E x besitzt, welcher für endliches x mit unendlich wachsendem p verschwindet,, 
sodass das Restglied in der Klammer von (6) die Form 
( 8 ) 
annimmt. 
2 • 4 • - (2p) 
■* 1 • 3 • ■ ■ (2p — 1 ) 
Betrachten wir nun die Reihe in (5) unter Fortlassung des Restgliedes, so sehen wir, dass sie 
ins Unendliche fortgesetzt, für jeden Wert von x, einschliesslich x — co , konvergiert; damit 
in Uebereinstimmung nähert sich das Restglied in der Form (7) mit wachsendem p der Null. 
