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Ist aber n = 0, betrachten wir also die Reihe in (6) 1 ), so konvergiert sie für jedes endliche x, 
divergiert aber für x — oo ; damit übereinstimmend nähert sich das Restglied innerhalb der Klammer 
von (6) mit wachsendem p für endliches x der Null, während es für unendliches x in unbestimmter Form 
1-3 •■•(2p — 1) 
erscheint; doch erweist in diesem Falle die Form (8) seine Unendlichkeit, da E, 
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der Ausdruck (8) also in — 
ist, 
00 2 • 4 ■ ■ • (2 p) 2 
übergeht. Die ganze rechte Seite von (6) wird für ein unendliches x 
Jl 
Null X Unendlich, also zur Berechnung von — unbrauchbar. Ueberhaupt sollte nur die Reihe (6), 
da sie sich gauz von selbst der Betrachtung darbietet, nicht unerwähnt bleiben, doch werden wir von ihr 
keinen weiteren Gebrauch machen. 
Aus (2) und (5) folgt nunmehr die gewünschte Entwickelung: 
r 2n-l 
(9) 
arc tg x = x 1 -4- • • • -f- ( — l) w — 1 
y 3 ~ 5 ^ V 2n — 1 
2-4 
+ (- 1F 
K 2n — 1 
2n -f 1 j 1 + x 2 ^ 2i 
t * v. 
2-4 • 
•■(2p -2) 
/ x 2 \ p j 
1.1+ X 2 ) 
(2 n -f- 31 • ■ 
■ • (2 n + 2 p — 1 
)l 1 + xV j 
Hierin stellen wir das Restglied in zwei verschiedenen Formen _B* und B^ p dar. Da 
Ip + lJ 
in (5) zwischen — für p — 1 und — für p — oo liegt, können wir ( — - 
4 e 
wobei 6- wieder ein positiver echter Bruch ist, und haben: 
2- 4- ••(2p — 2) 
2 / x 2 \3 
t — |— 3 x 1 — (— x 2 / 
+ ( 1 )” R n ,p ■ 
(*r 
^ als ~ ausdrücken, 
( 10 ) 
dagegen folgt nach (7): 
(11) Kp = 
-j— 1 
n ’ p ' (2»4-l)(2»+3).--(2»+2 1> — 1) '2» + l’ 
2 • 4 • • • (2p) 
X%n -\-2p-\-l 
(2 n — 1) (2n-j-l) • • • (2w-j-2p— 1) (1 -)- x 2 )P + 1 
0 <»< 1 . 
0< 0<1. 
Die Wahl von n und p ist an sich ganz willkürlich, als zweclcmässigste kann man aber die- 
jenige erachten, bei der die Gesamtzahl der Glieder, also n-\-p, so klein wie möglich wird, während die 
Faktoren von & oder & in den Restgliedern gegebene kleine Werte annehmen. Sei also zuerst dieser 
Faktor in (10) r 
n, p 
( 12 ) 
2 • 4 • • • (2p — 2) 
n iP 
X- n +1 1 
(2n-j-l) (2w-j-3) ■ • • (2n-\-2p — 1) 2n-)-l A 
gegeben. Nun erhalten wir bekanntlich zwischen zwei Grössen u und v dieselbe Beziehung, wenn ver- 
langt wird, eine Funktion f (u, v) solle einen extremen Wert annehmen, während eine andere Funktion 
(p (m, v ) konstant bleibt, oder wenn cp (u, v) einen extremen Wert annehnien soll, während f (u,v) konstant 
bleibt. Demgemäss erhalten wir die richtige Beziehung zwischen n und p, wenn wir r n p zum Minimum 
machen, während n -\- p konstant bleibt, also p um eine Einheit abnimmt, wenn n um 1 wächst 
und umgekehrt. Die Frage nach dem Minimum von r n lässt sich aber nicht scharf beantworten, da 
1) Dieselbe folgt auch direkt aus der bekannten Reihe für arc sin s : 1/1 — s - , 
■s — x : j/ 1 — cc 2 setzt, wofür arc sin s — arc tg x wird. 
wenn man 
