|35] 
§ 4. 
Nimmt man x 2 < 1 an, so können die Brüche (1 x 2 ) 1 , (l-|-x 2 )— 2 ; ... nach Potenzen von 
x 2 entwickelt werden; thut man dies und vergleicht die Coefficienten von x 2nJ r l , x 2w + 3 , x 2w + 5 etc. mit 
denen in der gewöhnlichen Reihe für arc tg x, so erhält man folgende Identitäten : 
1 = ] , ! ,2) 2 I 24 - 2 " + ] 
' 2» + 3 2» + 3’ '2n + 3 T (2» + 3)(2« + 5) 2n+5 
überhaupt : 
2 2-4 2 ■ 4 • ■ ■ (2g) _ 2?i-|-l 
1 _ (q)l 2n + 3 + iq ’ 2 (2n -(- 3) (2n + 5) + ' " ± (2»+ 3) ■ • • (2» + 2 2 -{-l) ~ 2n + 2q -+- 1 ' 
Dieselben lassen sich a posteriori mittels des Faktoriellensatzes beweisen. 
Zusatz. 
Bei der Diskussion über voranstehen den Vortrag regte der verehrte Kollege des Verfassers, 
Herr Professor Dr. Franz Meyer ihn dazu an, die logarithmische Reihe in gleicher Art zu behandeln, wie 
es oben mit der Reihe für arc tg x geschehen ist. Dies lässt sich in der That leicht ausführen, wobei an 
Stelle des Integrals 
v ln 
d v das etwas einfachere 
v n dv 
1 -j- v 
tritt, und führt zu folgendem Ergebnis: 
✓ywi 'Y'tZ i ry> 
*(!+*) = + kf 
n n -j- 1 ( 1 -j- x 
1 
(25) ^ 
2 
1-2 
+ 2 
x y 
1 + cc) 
(n- 1— 2) (w-f-3) \1 -f- x 
I & 1-2 ■ ■ ■ p x n + 1 
n ’ p 2 (w+ 1) • • (n-\-p) n -)- 1 
+ • 
1 ■ 2 ■ • . (p ■ 
” pL-Y 
p) \1 + X/ 
(w-j-2) ■ • (n-f-jd 
1-2 ...p 
<P= & 
n {n 4- 1) • • • (n p) 
■ x n 
+ ( — 
VP+1 
(y-J 
0< 
<1 
Diese Formel kann wieder angewandt werden, um die Logarithmen in bequemerer Art als mit 
den üblichen Reihen zu berechnen, wobei zuerst die Wahl der zweckmässigsten n und p bei gegebener 
Genauigkeit, analog wie oben, stattzufinden hat; man kann aber auch die rechts stehende bis x = oo ein- 
schliesslich konvergente Reihe (für p = oo) mittels (25) durch Logarithmen summieren und erhält, wenn 
zur Abkürzung x : (1 -f- x) = u gesetzt wird : 
(26) 
1 ■ 2 • • • (w + 1) 1 2 • 3 • • (n -f 2) 1 3 • 4 •••(« + 3) 
(— 1)» / l (1+ x) 1 . 1 
in infin. 
, - rjr •••-)- ( — 1) 
x n x H — i 2 x h — 2 ^ n 
-)■ 
n / 
Nimmt man hierin x negativ = — x x ^,rj = wodurch u negativ = — u x ^ — = 1^ 
wird 1 ), so erhält man die Gleichung: 
Ui 
u x 
1-2 -..(»+!) 2 -3 •■•(» + 2) 3 -4- ■•(» + 3) 
in infin. 
1 _(± i ( JL ) L _ 
n ! V x” kl — Xi' x“ 1 
2x” - 2 
£>■ 
( 27 ) 
