•einem Dreieck umschrieben sind“, die Hauptresultate von einem andern Punkte aus einheitlich festgestellt 
hatte, unterzog sich Professor Lieber, Redakteur des Aufgaben-Repertoriums der Zeitschrift von J. C. V. Hoff- 
mann, der Aufgabe, den Inhalt aller Untersuchungen nebst den Beweisen zusammenzustellen. Er schrieb 
dazu drei Programm-Abhandlungen in den Jahren 1885, 1886 und 1887, die indessen den Gegenstand 
nicht erschöpften, da schon wieder neue Sätze gefunden waren. Ich erwähne besonders „M. M. Lemoine et 
Neuberg: Notes sur la geometrie du triangle“ 1888; ,,Cesaro, Sur l’emploi des coordinees barycentriques“ 
1887 in den Nouvelles annales de mathematique; ,,N. J. Neuberg, Sur les triangles equibrocardiens“ 1888; 
.31. 31. J. Neuberg et A. Gob.: Sur les axes de Steiner et l’hvperbole de Kiepert, 1889. 
Da viele Resrdtate sich zum Teil sehr elementar ableiten lassen, so wurden dieselben in einzelnen 
Werken und auch als Anhang für Lehrbücher aufgenommen, welche zugleich Aufgaben enthielten. Ich 
nenne: „Emmerich: Die Brocard’sehen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen 
Punkten und Kreisen des Dreiecks;“ „Fuhrmann: Synthetische Beweise; Rouchd et de Comberousse 
Traite de geometrie, VI. edition, Paris 1891; Casey: a sequel to the first six books of the Elements of 
Euclid., Dublin 1892, 5 ttl edition.“ Auch wäre noch zu erwähnen: „Poulain: Principes de la nouvelle 
geometrie de triangle,“ in welchen die Hauptmethoden entwickelt sind, aus den Koordinaten von Punkten auf 
ihre V erbindung mit besonderen Punkten und Kurven zu schliessen. Endlich dürfen wohl auch die Arbeiten 
von E, Tucker nicht vergessen werden, welche, obwohl die Untersuchungen unabhängig von den früher 
genannten Arbeiten waren, dennoch mit ihnen viele Berührungspunkte hatten. Hiermit glaube ich, die- 
jenigen Arbeiten erwähnt zu haben, aus denen sich ein Ueberblick über die neuere Geometrie des Dreiecks 
gewinnen lässt; doch bemerke ich noch ausdrücklich, obwohl dies aus dem Gesagten hervorgeht, dass nur 
ein kleiner Teil der Schriften angegeben ist. 
Als Pol, um den sich mehr oder weniger die Untersuchungen drehen, kann man die Brocardschen 
Punkte und den Brocardschen Winkel m nennen. Hieran schliesst sich sofort das erste Brocardsche 
Dreieck, der Punkt von Lemoine, sowie auch verschiedene Linien und Kurven, die in Beziehung zu den 
Punkten stehen. 
Da zur klaren Darstellung der Eigenschaften verschiedene Namen eingeführt wurden, sei deshalb 
auf einige derselben hier eingegangen, welche sich meist sehr elementar beweisen lassen, wobei auch gele- 
gen tlich die Hauptnamen angegeben werden sollen. 
Die Ecktransversalen, welche zu den Brocardschen Punkten führen, ergeben in ihren andern 
Schnittpunkten, die zugleich die Spitzen von gleichschenkligen Lheiecken mit dem Brocardschen Winkel eo 
an der Grundlinie sind, die Ecken des ersten Brocardschen Dreiecks A‘ B‘C‘. Da diese gleichschenkligen Drei- 
ecke ähnlich sind, so verhalten sich die Abstände der Ecken A‘, B‘, C‘ von den entsprechenden Seiten des Grund- 
dreiecks wie die Seiten a, b, c selbst. Daher schneiden sich die Parallelen durch diese Ecken zu den ent- 
sprechenden Seiten in einem Punkte K. Die Abstände derselben von den Seiten findet man dadurch leicht 
als 7 y tg o), -- tg o>, -'--tg <»■ Ueber den Namen desselben ist noch keine Einigung erzielt. Die Deutschen 
bezeichnen ihn als Punkt von Grebe, die Engländer als symmedian point, die Franzosen als point de Lemoine, 
welcher Name auch von den meisten Nationen angenommen ist. Dieser Name ist vielleicht auch als der 
geeignetste zu bezeichnen, da Lemoine von ihm die meisten der ausserordentlich zahlreichen Eigenschaften 
angegeben hat. Mit Benutzung des Mittelpunktes H des Umkreises folgt leicht, dass A‘ B'C‘ ABC ist. 
Der Brocardsche Winkel a> tritt hierbei noch als wichtig auf. Der Radius des Umkreises von A‘ B‘ C' 
ist rVl — 3 tg 2 oo, wo r der Radius des Umkreises von ABC ist; ferner ist X r OHO 1 — 2w. Dies führte zur 
Betrachtung der Dreiecke, welche denselben Brocardschen Winkel w haben. Neuberg, der diese Frage sehr 
eingehend in seiner Abhandlung vom Jahre 1888: „Sur les triangles equibrocardiens“ behandelte, gab 
folgende Resultate an: (1) Teilt man die Seiten eines Dreiecks fortlaufend nach gleichem Verhältnis, so 
bestimmen die Teilpunkte die Ecken von Dreiecken mit demselben Brocardschen Winkel <». Indem man 
solche Dreiecke der Kürze halber symbrocardal nennt, erhält man dann (2) : Der geometrische Ort der 
Spitzen von symbrocardalen Dreiecken über einer Grundlinie a ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt die Spitze 
eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Winkel 2w, und dessen Radius cot^v — 3 ist. (3.) Der 
geometrische Ort der Punkte, für welche die Fusspunkte der Lote auf die Seiten des Grunddreiecks die 
Ecken von symbrocardalen Dreiecken sind, ist der Brocardsche Kreis und nach einem Satz von Kiehl auch 
die Polare des Punktes von Lemoine in Bezug auf den Umkreis. 
