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Man ging dann zu weitern Untersuchungen über, die nicht mehr ganz elementar waren und 
Kurven in ein neues Licht setzten, die schon früher bekannt waren. Das Brocardsche erste Dreieck wurde- 
als besonderer Fall der Kiepertschen Dreiecke betrachtet, d. h. solcher Dreiecke, deren Ecken die Spitzen 
gleichschenkliger ähnlicher Dreiecke über den Seiten des Grunddreiecks sind. Alle diese Dreiecke sind 
dem Grunddreieck koliinear, und zwar liegen die Kollineationscentren auf einer gleichseitigen Hyperbel, 
der Kiepertschen Hyperbel, auf welche Brocard schon früher gestossen war. \ r on den Kiepertschen Drei- 
ecken giebt es nun zwei mit dem Inhalt 0. Die Winkel <p an der Grundlinie der gleichschenkligen 
Dreiecke, deren Spitzen die Ecken jener Kiepertschen Dreicke sind, werden dureh die Gleichung 
sin (2 cf> -f- o>) = 2 sin w bestimmt. Die Geraden, welche diese Kiepertschen Dreiecke clarstellen, sind den 
Asymptoten der Hyperbel parallel. Mit dieser Hyperbel steht nun in Beziehung die Steinersche Ellipse, 
d. k. die dem Dreieck umschriebene Ellipse, deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Die 
Achsen derselben sind den Asymptoten der Kiepertschen Hyperbel parallel. Zu den Kurven, die infolge der 
vielen neuen Eigenschaften des Dreiecks untersucht wurden, gehören besonders noch die Parabeln von 
Artzt, deren es zwei Arten giebt. Die erste Art wird durch die Tangenten gebildet, welche durch die 
Verbindimgslinien der Punkte erhalten werden, welche die Seiten fortlaufend nach gleichem Verhältnis 
teilen. Bei der zweiten Art treten die Mittelsenkrechten der Seiten statt dieser Seiten auf. Je zwei ent- 
sprechende Parabehi haben immer denselben Brennpunkt. Die drei Brennpunkte liegen auch auf dem 
Brocardschen Kreise (dem Umkreise von A‘ B‘ C‘), und bestimmen das zweite Brocardsche Dreieck. — 
Diese Eigenschaften, sowohl die elementaren als auch die höhern, wurden meistens synthetisch bewiesen : 
doch lassen sich viele einfacher analytisch beweisen, wenn man Dreieckskoordinaten benutzt. Zu dem 
Ende sei zunächst der Begriff der isogonalen Verwandtschaft eingeführt. Zwei Ecktransversalen heissen 
isogonal verwandt, wenn ihre Winkelhalbierungslinien mit denen der entsprechenden Ecken des Dreiecks 
zusammenfallen. Schneiden sich nun drei Ecktransversalen in einem Punkte, so auch die isogonal ver- 
wandten Transversalen. Die beiden angegebenen Punkte werden dann als isogonal verwandte Punkte 
bezeichnet. Man nennt übrigens solche Ecktransversalen auch Winkelgegentransversalen und die dadurch 
bestimmten Punkte Winkelgegenpunkte. 
Es ist nun klar, dass jeder Geraden ein Kegelschnitt durch die drei Ecken des Dreiecks ent- 
spricht. Dem Brocardschen Durchmesser entspricht dann durch isogonale Verwandtschaft die Kiepertsche 
Hyperbel, der Polare des Lemoineschen Punktes, welche auch Gerade von Lemoine genannt wird, entspricht 
die Steinersche Ellipse, der Unendlichkeitsgeraden der Umkreis. Es folgt dies sofort aus den Gleichungen 
da Gebilde ^ Brocai'dscher Durchmesser: x sin (B — - C) -+- y sin ( C — A) -\~ z sin (A — B) = 0, 
2. Kiepertsche Hyperbel y z sin (B — C) -j- z x sin ( C — A) -j- xy sin (A — B) — 0, 
3. Gerade von Lemoine — r — — — 0, 
a b c 
4. Ellipse von Steiner — + Z ~r + ~ = °> 
a b c 
5. Unendlichkeitsgerade ax -}- by -f- cz =0, 
6. Umkreis ayz -f- bzx -f- cxy = 0. 
Es sind dann noch andere Gerade mit den betreffenden isogonal verwandten Kurven betrachtet, 
z. B. die Eulersche Gerade, deren isogonal verwandte Kurve als Hyperbel von Jerabek bezeichnet wird.. 
Betrachtet ist ferner die isogonal verwandte Kurve der Geraden, welche die Mittelpunkte des In- und 
Umkreises verbindet; doch hat diese Ellipse noch keinen Namen. 
Wegen der Reichhaltigkeit der Eigenschaften des Deriecks musste man, wie dies aus dem, was 
eben gesagt ist, hervorgeht, Namen einführen. Die hauptsächlichsten sind schon genannt, doch sind noch 
einige hinzuzufügen : 
1. Die Neuberg’schen Kreise. Es sind die Kreise, welche den geometrischen Ort der Spitzen 
von symbrocardalen Dreiecken über derselben Grundlinie bestimmen. 
2. Legt man durch den Punkt von Lemoine die Parallelen zu den Seiten, welche die Seiten also 
in 6 Punkten schneiden, so liegen diese auf dem ersten Kreise von Lemoine. 
3. Legt man die Geraden antiparallel zu den Seiten, so erhält man den zweiten Kreis von Lemoine, 
der auch Cosinuskreis heisst. 
4. Fällt man von den Fusspunkten der Höhen auf die anstossenden Seiten Lote, so liegen die 
Fusspunkte auf dem Kreise von Taylor. 
