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Sitzung der mineralogisch- geologisch -paläontologischen Sektion am II. Januar 8897. 
Herr Professor Mügge führt petrographische Demonstrationen vor und giebt einen 
Bericht über die neueste Litteratur. 
Sitzung der mathematisch-astronomisch-physäkalischen Sektion am 14. Januar 1897. 
Herr Professor Saalschütz spricht über Cauchy’s Beweis für die Realität der Wurzeln 
einer Gleichung der Transformationstheorie. 
Die Gleichung für X, deren linke Seite meist in Form einer Determinante geschrieben wird: 
(1) 
R = 
O u X &12 
<*22 ^ 
«ln 
«2 n 
= 0 
a nl «n2 • ’ 
• a nn - l 
a ]ch — a hk 
tritt bei der Transformation einer homogenen Function 2ten Grades in ein Aggregat von Quadraten, wie 
auch (insbesondere für n = 3) in Problemen der Physik und Astronomie auf. 
Die Gleichung (1) hat nur reelle Wurzeln. 
Diese Thatsache wird in den Lehrbüchern entweder, so zu sagen, indirekt bewiesen, indem auf 
die Sübstitutionsgleichungen zurückgegriffen, und die Unerfüllbarkeit derselben bei Annahme complexer 
Wurzeln gezeigt, oder indem, nach Sylvester, die Darstellbarkeit gewisser Determinanten als Quadrat- 
summe benutzt wird.*) Der folgende Beweis, der (wie der Sylvester’sche) die Gleichung für sich, un- 
abhängig von ihrer Entstehungsweise, ins Auge fasst, reproducirt dem Wesen nach einen von Cauchy**) 
gegebenen, aber in so einfacher Form, dass er den Fachgenossen deshalb willkommen sein dürfte. Er 
setzt nur die elementarsten Determinanten-Sätze voraus. 
Sind X t und / 2 zwei Wurzehi der Gleichung (1) und bezeichnen wir die Partialdeterminanten 
von R für die Werthe X — X i} und X = 1 2 folgendermaassen : 
(2) 
für X = X 1 : 
für X — X 2 : 
S R 
d («i/c - ^) 
d R 
d («ii — 
= A 
= B 
d R 
d Hh 
d R 
d o, 
kh 
Akh’ 
Bkh’ 
so gelten die Gleichungssysteme: 
— Xi)A^ + a 12 
Ä 12 + ’ 
' • ~b a ln 
O 
II 
II 
II 
y — 1 
) «21 
\ 
b-n + («22 
— ) Aj 2 • 
■ ' “b a 2n 
Mn = 0 
\ «ul 
A ll + «»2 
4-12 + ' • 
' + (««» — ^ 1 ' 
1 M n = 0 
und 
(«n — * 2 ) B 11 'f «12 -®12 b b « 1 « B in = R(X = X 2 ) = 0 
«21 -®lt b~ («22 — ^2) -B12 «2 n -E>1 n = ® 
«ni B n + «h2 -®12 b b (a nn — X 2 ) B ln — 0 
*) Vgl. Netto, Vorlesungen über Algebra, 1. Bd. (Leipzig 1896) S. 199 f. 
**) Exercices de Mathem. t. IV p. 140 ff. 
Schriften der Physikal. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXVIII. 
