Bekannt sind die Gleichungen: 
(3) 
(4) 
* a n — 1 ^ n — 1 ”4“ n — 1 -^n — 2 J 
N,„ - N„ 
i = (- 1)” 
6 's fe'a • • • V n _ i 
Qn — 1 Qn 
Qn — a n — 1 - 1 + - 1 
N n + l -N n = (- 1J- + 1 
Qn - 2 
■ • ■ &'» _ 
Qn Qn 4- 1 
Die Division der letzten beiden durch einander giebt, wenn wir den Fall positiver Theilzähler 
b‘ n von demjenigen negativer Theilzähler b‘ n = — b n trennen, und die 2 te (3) (für n + 1 statt n) zu Hülfe 
nehmen : 
(5) 
■^n 1 
N n - i~N n 
1 
a n Qn 
h ‘n Qn 
+- 1 
-^n 4 - 1 
N n ~N n - i 
N n 
1 
a n Qn 
b n Qn — 1 
Zur Vereinfachung der Darstellung nehmen wir in diesen Mittheilungen alle Theilnenner als 
positiv und die Theilzähler entweder sämmtlich als positiv oder sämmtlich als negativ an. Dann ergiebt 
sich aus (5) folgendes Convergenz- Kriterium für positive Theilzähler: 
die 
Ist 
Reihe 
a n Q 
b‘ n Q 
- auch für n = 00 von Null verschieden oder divergirt wenigstens 
n — 1 
Qn 
— , so convergirt der Kbr. X, convergirt diese Reihe, so oscillirt. er. 
Qn - 1 
Dies Kriterium ist öfters bequemer anzuwenden als das Sternsche, z. B. convergirt X, wenn 
2j Tr- oder wenn 
b„ 
b‘ 
divergirt. 
Für negative Theilzähler ergeben sich aus (6) folgende Kriterien: 
1. Ist von einem gewissen n, n = v, an und für alle grösseren n : 
a n Qn 
B 
- 1 > 1, 
bn Qn — 1 
so convergirt der Kettenbruch. 
2. Ist R 1, so hat der Kbr. einen unendlich grossen Werth. 
3. Ist B = 1 + ö' n , wo <? n > 0 , hm d, u = 0 , so ist die Divergenz der Reihe -f _j_ 1 -+■ 
d n 4. o -4- • • • nothwendig, aber nicht ausreichend für die Convergenz des Kbrs., worauf hier nicht näher 
eingegangen werden kann. 
4. Nähert sich Q n : Q n _ t keinem irgendwie von n abhängig zu machenden Grenz werth, so 
oscillirt der Kbr. 
Die Benutzung dieser Kriterien erfordert eine Methode zur Bestimmung des Quotienten Q n : Q n _ 1) 
den wir mit TJ n bezeichnen. Nun folgt aus der 2*en (3): 
U n = a H l + b‘ n _ x : Z7 W _ x oder ü n 
also ist (mit n + 1 statt n ) für positive Theilzähler: 
(7) ü n (U n + 1 ~aJ = b‘ n , 
für negative Theilzähler: 
(8) u „( U n 4 ! — a H ) + b n — 0 
und aus dieser Functionalgleichung muss man JJ,, zu bestimmen suchen. 
a n _ 1 b n _ 1 : U n __ 1 , 
