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Wir wenden uns jetzt folgendem besonderen Kbr. zu: 
(9) X = 1 / % — &a/ a 2 — b 3 / «3 — ■ • • , 
worin a x beliebig und für n > 1 : 
(10) a n = «0 w + «1 , = ßo w 2 -f- ft*» + ßz , «0 > 0 > ßo > 0 • 
Nehmen wir für JJ n den Ausdruck 
(11) ü n = An+ B + ^ + ^ + 
n n 
an, woraus: 
U n , ! = A n + A +- B + — + B2 ~ Bl + • • ■ 
» -t- r n n 2 
folgen würde, und setzen diese Ausdrücke, sowie die Werthe (10) in ( 8 ) ein, so erhalten wir für A die 
quadratische GL: 
(12) A 2 — «0 A -+- /3q = 0 , 
und die anderen Coefficienten folgen linear aus A und zwar: 
/ 1 9 \ r> (ßo — ßi) — A(cc 0 — «,) 
(13) B== 2Ä^0 
(14) ]3i — - — g — — , wenn (15) . . . y — B (A + B — rq) /So, 
“A — «0 
etc.; aber die so entstehende Reihe für U n ist divergent, wie gross auch n angenommen werden mag, 
wir gelangen also in dieser Art nicht zum Ziele. Die weitere Entwickelung erfordert aber die Unter- 
scheidung dreier Hauptfälle, ob nämlich die Gl. (12), deren Coefficienten « 0 und ß 0 positiv sind, 
zwei von einander verschiedene reelle positive Wurzeln, oder zwei complexe Wurzeln oder 
zwei gleiche Wurzeln besitzt. 
Erster Hauptfall. 
Wir bezeichnen die grössere Wurzel mit A‘, die kleinere mit A“ und A‘ — A“ mit c. Dem 
A‘ entspreche durch Substitution hi (13), dessen Nenner rechts = c wird, und (15) B‘ und y‘, dem A“ 
ebenso B“ und y“. Dann lassen sich « 0 , a v ß 0 , ß x rational durch A‘ A“ B‘ B“, ß% rational durch diese und 
y‘ (oder y“) ausdrücken, wir können also auch statt der Constanten a 0 ß 0 ß 1 ß% die Constanten A‘ A“ 
B‘ B“ y‘ (oder y") in die Rechnmig einführen, und dies soll geschehen. 
(16) 
(17) 
Wir setzen nun entweder: 
U„ = A‘ n + B‘ 
^ f M oder: 
TJ n = A“n + B“ + 
y“" (f(n) 
c n 
und erhalten dadurch zwei wesentlich verschiedene Auflösungen der Gl. ( 8 ). Die Substitution von (16) 
oder (17) in ( 8 ) lässt die Coefficienten von w 3 und von n wegen (12) und (13) verschwinden und liefert 
eine Functional- Gleichung zwischen f (n) und /(«-)- 1), die wir als (18), bezugsweise zwischen <f (n) und 
(f (n + 1), die wir als (19) bezeichnen. 
Wird dem f(n) in (18) für n = n 0 ( n 0 beliebig = 2, 3, 4 etc.) ein beliebiger Werth mit Aus- 
schluss eines einzigen, des Ausnahms werthes, gegeben, so convergirt f(n) mit wachsendem n, unter 
Umständen mit schnellen und grossen Aenderungen beginnend, schliesslich nach 1, und folglich die rechte 
Seite von (16) nach A‘ n + B‘. 
Wird dem y. (n) in (19) ein bestimmter nur von n abhängiger Werth gegeben, so convergirt 
es mit wachsendem n nach 1, imd die rechte Seite von (17) nach A“ n- f- B “ ; für jeden andern Anfangs- 
werth von (f> ( n ) wird es schliesslich proportional n 2, und die Auflösung (17) schlägt in die Auflösung (16) 
um. Ebenso schlägt (16) für den Ausnahmswerth von f(n) in (17) um. 
Die Beweise dieser Sätze bilden, sozusagen, die Angelpunkte der ganzen Entwickelung, können 
aber hier ihres Umfanges wegen nicht reproducirt werden. 
