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Wird nun JJ n (in (16)) für n = n 0 (n 0 2) mit dem direct berechneten Q n i 
sammengehalten, so kann hierdurch f(n 0 ) berechnet werden; sei das Resultat — und dies ist der all- 
gemeinere Fall — nicht der Ausnahmswerth von f (n 0 ): dann convergirt der Kbr. X 
Beweis. Es ist für unendlich wachsendes n: 
a «o 1 
hm U „ = A‘ n + B‘, hm - — = — • ■ — , also : 
K ßo n 
hm 
A ‘« 0 
ßo 
A‘ + A“ 
A“ ~ 
A‘ 
1 = Ä -> 1 
also die Behauptung, wegen der 1 ten Convergenzregel, bewiesen. 
Erhält aber vermöge der obigen Rechnung f(n 0 ) gerade den Äusnahmswerth, so ist Q u ^ : Q„ o _ i 
genau gleich U n in (17), dies convergirt nach A“ n -j- B “ , daher 
der Kbr. X hat dann also der 2 ten Convergenzregel zufolge einen unendlich grossen Werth. 
Beispiel. Sei — 7 und für 1: a n = 10 n -|- 13, b n = (7n-l-9) (3n+l), also: 
X = 1/7 — 161/33 — 300/43 — 481/53— • ••• 
dann ist nach (12), (1.3) und (15): 
A' = 7, A“ = 3, B' = 2, B“ = 1, y“ = 0 
also geht (17) in: U n — 3w+l über; nun ist n 0 = 2 und — a x = 7, genau = 3n + l für 
n — 2, also ist X = GO , und dalier: 
(20) 161/33 — 300/43 — 481/53 = 7. 
Setzen wir also = 8, so ist: 
X = 1/8 — 161/33 — 300/43 — 481/53 1; 
dieser Kbr. convergirt also und es ist interessant zu sehen, wie die Quotienten Q n : Q n _ 1 = U n *) sich 
von dem Werthe A“n~\~B“ mehr imd mehr entfernen und dem Werthe A‘ n + B‘ zustreben. Es ist: 
n 
A“ n-\- B“ 
u n 
A‘ n + B‘ 
n 
A“n+B“ 
v* 
A‘ n + B‘ 
2 
7 
8 
16 
7 
22 
47,72 
51 
3 
10 
12,88 
23 
8 
25 
56,31 
58 
4 
13 
19,70 
30 
9 
28 
64,12 
65 
5 
16 
28,59 
37 
10 
31 
71,57 
72 
6 
19 
38,37 
44 
11 
34 
78,75 
79 
Die Auflösung (17) hat noch eine andere Bedeutung. Bezeichnen wir: 
C“ 1 ) = Kl a n ~ K + ll a n + 1 + zl a n + 2 > 
SO ist X M = b n : (a n - X n + x ) oder: 
(22) X H (X n j a n ) -+| b n — 0 
d. h. X n ist eine Auflösung der Gl. (8) und nun lässt sich zeigen, dass von den beiden Auflösungen (16) 
und (17) dem X n die 2te zukommt, dass also: 
*) Die Werthe U n sind genau gerechnet und dann mittels Logarithmen in Decimalbrüche 
umgewandelt. 
