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( 23 ) 
X., = Ä“ n 
B“ + 
y“ <f ! ( n ) 
c n 
ist. Die Function </ ;«) , welche ausser von n noch von den Constanten A‘ A“ B‘ B“ y“ abhängt, ist immer 
näherungsweise, aber im Allgemeinen durch keinen geschlossenen Ausdruck darstellbar. Nur wenn zwischen 
den genannten Constanten eine gewisse Beziehung besteht, ist dies möglich. In diesen Fällen, sowie 
wenn y“ == 0 ist, lässt sich X n rational ausdrücken, lässt sich also der Kbr. X summiren. 
So ist im Anschluss an das frühere Beispiel, wenn und b\ auch nach den Formehr für n > 1 berechnet werden 
Xj = 64/23— 161/33 — 300/43 = (A“ n + B“) n _ 1 
d. i. Xj = 4, welches Eesultat mit Gl. (20) in Uebereinstimmung steht. 
Die erwähnte Beziehung ist aber 
(24) y“ = (A‘ B“ — A“ B‘ — A‘ A“) 4 — A‘ A“ 4 2 , 
worin 4 eine positive ganze Zahl sein muss, und es ist z. B., wenn 4 = 1 ist: 
(25) 
c n 
V(n) = c,i • .r I ,i" + B‘ - B‘‘ ' 
Zweiter Hauptfall. 
Wenn die Gl. (121 zwei complexe Wurzeln hat, so oscillirt der Kettenbruch X. 
Dieses folgt aus der 4 tei1 Convergenzregel und wir veranschaulichen dieses Verhalten durch 
folgende Gegenüberstellung eines oscillirenden mit einem convergenten Kbr. Sei für den Kbr. X : a n — 3 n, 
b n — 2w 2 ; dann folgt aus Gl. (12): A‘ = 2, A“ = 1, ferner B‘ = — 4, B“ = 1, ß 2 = 0 also aus (15): 
y“ = 2. Dieser Werth genügt d. Gl. (24) für 4 = 1, also folgt aus (25): <f (n) = n: ( n — 2) und somit ist: 
X n = n + 1 -j- — ■ Q , Xj = 0 , X 2 = 00 , X 3 = 6 , etc. 
Für einen Kbr. Y sei a a = 2m, b a = 2m 2 ; dann wird Gl. (12): A 2 — 2A + 2 = 0; dieselbe 
hat zwei complexe Wurzeln, der Kbr. Y oscillirt also. Wir stellen nun die sogenannten Näherungs werthe 
für die Kettenbrüche: 
= 1/9 — 32/12 — 50/15— • • • 
lö 
= 1/6 — 32/8 —50/10 
einander gegenüber; die ersteren seien B n (n = 2, 3, 4, • • •), die letzteren S n (n = 2, 3, 4 • • •)• 
n 
K 
Sn 
M 
K 
2 
0,1111 
0,1667 
7 
0,2429 
4- 1,2946 
3 
0,1580 
0,5000 
8 
0,2658 
- 0,0779 
4 
0,1884 
— 0,2143 
9 
0,2841 
-1- 0,0121 
5 
0,2124 
+ 0,0763 
10 
0,2982 
-+ 0,3335 
6 
0,2141 
+ 0,2300 
11 
0,3090 
— 0,8908 
OO 
0,3333 
? 
Dritter Hauptfall. 
Wenn d. Gl. (12) zwei gleiche Wurzeln A hat, so gelten folgende Engeln : 
Man setze: 
(26) JJ n = An+cVn + Bf{n), 
Schriften der Physikal. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXVIII. 
