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Sitzung der mathematisch-astronomisch-physikalischen Sektion am 57. Juni 1897. 
Den Vorsitz führt Herr Emil Müller. Herr Dr. Vahlen trägt eigene Untersuchungen 
über Linear form en, welche unendlich viele Primzahlen enthalten, vor. 
Zu den wenigen Fällen, in denen der Dirichletsche Satz: 
„Eine Linearform a x b, mit teilerfremden a und b enthält unendlich viele Primzahlen“, 
bisher rein arithmetisch bewiesen worden ist, kann man, wie folgt, unendlich viele hinzufügen. 
Es seien % , i) 2 , ■ • , ye die e /’-gliedrigen Kreisteilungsperioden, welche zur Primzahl j? = e / 1 
gehören; « sei eine primitive m-te Einheitswurzel. Man bilde die Form: 
n (ax-vy) = a ;UW + ^( v ., () <pH y uW = ^ Iiy) . 
K, 1] 
Ist jetzt P eine beliebige Primzahl, h der kleinste Exponent für den gleichzeitig: 
P h = 1 (mod w) 
und P 
,fh ; 
ist, so folgt aus: 
durch Erheben in die P h - te Potenz: 
: 1 ( mod p) 
r ry 
a x 
TT>/( 
P‘ 
■v y 
r\y=ux , 
also x =1 (mod P) , wenn y eine ganze Zahl, x und y prim zu Psind; 
und für kernen kleinern Wert statt h. Also umgekehrt: 
Setzt man für x und y teilerfremde ganze Zahlen, x prim zu y l y 2 • ■ y e , und ist P ein Prim- 
faktor von F (x,y), so ist: P =1 (modm) 
pf= 1 ( modp ). 
Sei jetzt f=n v , n prim ; q (m) = n'*. q , q prim zu n ; y <j v. Man wähle x prim zu rj 1 ■ ■ y e und zu m, 
und so, dass x e ^ zum Exponenten n' ^ für den Modul p gehört. Für y setze man das Produkt 
aller bekannten Primzahlen, die nicht in x enthalten sind, in solchen Potenzen, dass: 
y=o (mod m) 
ist. Dann ist P (a>, y) wenigstens durch eine neue, den Congruenzen : 
P =1 (mod m) 
P nV = 1 (modp) 
genügende Primzahl P teilbar. Da überdies F (x, y) (modp) zum Exponenten n gehört, so giebt es 
wenigstens eine neue Primzahl von der Linearform m z -\- 1, die überdies zum Exponenten n v |M (modp) 
gehört; also giebt es unendlich viele solcher Primzahlen. 
Der Satz lässt sich verallgemeinern, indem man für p eine zusammengesetzte Zahl annimmt. 
Eine einzige Linearform wird durch die beiden Congruenzen in dem Fall bestimmt, dass 
v — y = l, 71 = 2 ist; man erhält den Satz: 
„Ist m eine ganze, p eine Primzahl, p — 1 öfter durch 2 teilbar als <p (m), k die Wurzel der Con- 
gruenz üt» + 1= — 1 (modp), so enthält die Linearform mpx-\-(km- 1-1) unendlich viele Primzahlen.“ 
Die bekannten Sätze: „Die Linearformen mx + 1 und 2p x — 1 enthalten unendlich viele 
Primzahlen“ sind Corollare von diesem. 
Herr Emil Müller erläutert in einem Vortrage „über G-raphostatik“ die Vorzüge der 
graphischen Methode, im besonderen bei praktischen Aufgaben der Statik. 
