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Aus der Gleichung (1) folgt, dass cp (u) entweder an einer Stelle von mindestens zweiter Ordnung 
unendlich werden oder mindestens zwei Pole im Parallelogramm besitzen muss rj). Als einfachste doppelt- 
periodische Funktionen erscheinen nun eine Funktion, die im Parallelogramm an einer einzigen Stelle 
und da von zweiter Ordnung, und eine solche, die an zwei Stellen von erster Ordnung imendlich wird. 
Zunächst sind diese Funktionen hypothetisch. 
Diese Funktionen können nach Cauchy’s Formel 
(2) 
! n i ■ cp (u) ■ 
(p(z) d z 
z — u 
direkt gebildet werden, was bis jetzt, wie es scheint, uicht beachtet worden ist. Es empfiehlt sich, die 
zweite Funktion zu wählen. Man bilde ein Periodenparallelogramm, dessen Ecken durch die Grössen 
v, v -f- 2 d) , v + 2 w 2 m‘ , s-f 2w' gegeben sind, und verfüge dabei über v so, dass auf dem Umfang 
des Parallelogramms kein Pol der Funktion liegt. Im Innern seien a und b die beiden Pole. Ferner sei 
es muss dann nach (1) 
<p (a + h) = — P (Ji ) ; 
li 
c p(b + h) = — -- + Pi (h) 
h 
sein. Jetzt konstruiere man ein grosses Parallelogramm mit den Ecken 
v — 2 m co — 2 m (o‘ , v -f 2 (m + 1) w — 2 m «' , v + 2 (m -I- 1) « -f- 2 (m -(- 1) co' , 
v — 2 m w -f 2 (m j- 1) 
wobei m eine ganze Zahl bedeuten soll. In diesem Parallelogramm liegen die Pole 
a 2 pi w -(- 2 pi 1 <u ‘ , b -f- 2 pi io -p 2 fi‘ &>'. 
Hier gehen ft und fi‘ unabhängig von einander von — m bis -j- m- Man schneide aus dem grossen 
Parallelogramm kleine Kreisflächen heraus, welche die genannten Pole zu Mittelpunkten haben, und büde 
das Integral (2) über die sämtlichen Ränder des übriggebli ebenen Flächenstücks. 
Die Integrale über die Kreisperipherien lassen sich auswerten, 
des Flächenstücks liegt, und falls im richtigen Sinne integriert wird, 
(3) 
<p (w) = 
— c 
1 
a + w — u 
+ c 
fl., fl' — — m . . m 
vj 
b -f- w — u 
fl, fl 1 = — m . . - J- w 
Man erhält, falls u im Innern 
1 
2 
o 
/ (p{z)dz 
f z — u 
Hier ist w eine Abkürzimg für den Ausdruck 2 fi w -\- 2u‘ o>‘ imd Gr soll den Umfang des grossen 
Parallelogramms bezeichnen. Das Maximum von mod <p (z) auf G ist unabhängig von m- 
In der Formel (3) kann man zunächst m nicht unendlich gross werden lassen, da z. B. 
yi 
" u — a — w 
fl, fi' — — O 0 . • - + 00 
nicht konvergiert. Bedenkt man aber, dass, falls w nicht gleich o und absolut grösser als u — a ist, 
2 
1 1 u — a (u — a) ^ 
u — a ■ — w w w 2 »3 
so hegt es nahe, für 
den Ausdruck 
— -l - — — 0 zu substituieren, der eine im- 
ii — a — iv « — a — w w w u 
bedingt konvergierende Summe ergiebt. Durch identische Umformung von (3) erhält man 
( 4 ) 
<p(u) — c 
1 , 
V’l 
f 1 ^ 
"1 
u — a 
L 1 
W — a- 
- w 
+i + “- 
w w 
i — a\ 
w2~J 
fl, fl‘ = — »».. + Vl 
■ + 
2f— 
u — b — w 
fl, fl' = — m ■■ + m 
1 u- 
1 
w u 
-j-j-) Liouville, Comptes R., T. 32, p. 452. 
