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b) 
VM 1 _j_ 1 <P (z) dz 1 u I <P (z) d z 
w 2 2 n i I z J 2ni J z (z — u)' 
fl, fl 1 = — >»...+ m J G ff 
Die Apostrophe an den Summenzeichen sollen hier bedeuten, dass das Zahlenpaar ;i = /i‘ = o auszulassen 
ist, für welches Zahlenpaar das entsprechende Summenglied in der alten Form vor die Summe gesetzt 
worden ist. 
In der Gleichung (4) kann man zur Grenze m = oo übergehen. Die beiden ersten Summen haben 
Grenzwerte, das letzte Integral hat den Grenzwert Null, und da die linke Seite von m nicht abhängt, 
so hat die eckige Klammer einen limes . Weil aber in dieser Klammer u nicht vorkommt, so ist 
MT 2 71 l z 
1 = 00 fl, fl' — — m . . 4- m ff 
eine Konstante. Setzt man jetzt 
fl, fl 1 — — OO • ■ • -f - GO 
so erscheint. <f (u) in der Form 
<f[u) = cC{u — a) — c C (m — b) 4 - C. 
Nachdem man noch die Relationen 
(6) ( (u+ 2w) — iu — const. 
£ (w 4- 2 m‘) — £ u = const. 
nachgewiesen hat, erkennt man, dass die gefmidene Funktion <j (u) wirklich die verlangten Eigen- 
schaften besitzt. 
Ein Vorteil dieser Betrachtung ist es, dass sie ungezwungen auf die Funktion £ u führt. Die 
Eigenschaften dieser Funktion, zu denen z. B. die Gleichung £( — u) — — £ u gehört, lassen sich aus (5) 
ableiten. Die Relationen (6) zeigen, dass t‘ u die Perioden 2« und 2 w‘ hat; damit ist die Weierstrass’sche 
Funktion p u gefunden, welche gerade ist und welche durch 
d Cu 
pu = — -y — 
du 
definiert wird. Damit ist auch die doppeltperiodische Funktion gefunden, die an einer Stelle des Perioden- 
parallelogramms von zweiter Ordnung unendlich wird. Durch weitere Differentiationen erhält man 
Funktionen, die an einer Stelle von höherer Ordnung unendlich werden. 
Nun kann man aus £ w, pu, p'u, p“u, ■ ■ ■ doppeltperiodische Funktionen zusammensetzen, welche 
vorgeschriebene Pole besitzen und für welche an den Polen die gebrochenen Teile der Entwickelungen ge- 
geben sind. Es müssen nur die am Anfang ausgesprochenen Sätze beachtet werden. Soll z. B. eine 
solche Funktion cp (u) im Periodenparallelogramm bei a v a 2 , a s unendlich werden, und 
<p (ßj + h) — — ~~ b P\ (h) 
<p (og + h) = -^f- + + P 2 W 
y ,(a 3 + W=^f + -$-+-f-+ i> 3(A) 
sein, so muss c x -f- c. 2 -[- c 3 = o angenommen werden. Nun lässt sich aber eine Funktion mit den ge- 
suchten Eigenschaften finden. Eine solche ist jedenfalls 
i/j ( u ) = q £ (u — «,) 
+ c 2 £ (m — ß 2 ) + c‘ 2 p (u — ß 2 ) 
+ c 3 £ (u — ß 3 ) ■+ c‘ 3 p ( u — ß 3 ) — - 2 c“ 3 p' ( u — a 3 ). 
