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Bedeutet <h ( u ) irgend eine andere, gleichfalls den Vorschriften genügende Funktion, so muss cp (u) — rp (u) 
eine eindeutige, doppeltperiodische Funktion sein, die im Endlichen überall den Charakter einer ganzen 
Funktion hat. Nach dem Satz von Liouville muss also cp (u) — cp (w) konstant sein. 
Damit ist die bekannte additive Zerlegung der doppeltperiodischen Funktionen gegeben*); der 
soeben geführte Beweis ist der Liouville’sche. Auf diese Zerlegung gründet sich die Integration der 
doppeltperiodischen Funktionen oder, was damit gleichbedeutend ist, die explicite Darstellung der 
elliptischen Integrale. Es kann aber auch auf diese Zerlegung die ganze übrige Theorie der elliptischen 
Funktionen aufgebaut werden. In dieser Hinsicht mögen nur folgende Punkte angeführt werden: 
1. p 3 u und (p'u) 2 werden beide von der sechsten Ordnung unendlich und zwar so, dass 
(p‘u) 2 — 4(pw) 3 nur von zweiter Ordnung unendlich wird. Macht man für (p‘u ) 2 — 4,p 3 u die Zerlegung, 
so ergiebt sich die Differentialgleichung der Funktion p u **). 
2. Daraus, dass p u an einer Stelle von zweiter Ordnung unendlich wird und somit jeden Wert 
im Parallelogramm zweimal annimmt, sowie daraus, dass pu eine gerade Funktion ist, folgen die Pole 
der Funktion 
/ p'u — p‘v \ 2 
\p u — p V J 
des Arguments u. Führt man für diese Funktion die Zerlegung aus, so gewinnt man das Additions- 
theorem für die Funktion p u. 
3. Man bilde neben der bis jetzt gebrauchten Funktion p u, welche aus den Perioden 2 w und 
2 w 
2 i»‘ hervorgeht, die analoge Funktion aus den Perioden und 2 co' und bezeichne diese Funktion mit 
n 
p (u | — , co 1 ). Hier haben wir auch 2 co und 2 co‘ als Periodenpaar, wenn auch nicht als primitives. Die 
Zerlegung führt auf die Formel 
n — 1 
co v 
p (« ! — , w ‘) = Zp( u — 
v= 0 
Dies ist ein bekannter Ansatz für die Transformation. 
V ID 
— ) -f const. 
n 
4. Es habe cp (u) im Parallelogramm die Pole p v p 2) ■ ■ ■ pr und die Nullstellen q lt q%,- ■ • q r , wo- 
bei jeder rn fache Pol und jede mfache Nullstelle auch »mal in der Reihe aufgeführt werden soll. Bildet 
'/>' (w) 
man jetzt 
(71 
V (w) 
rmd wendet man auf diese Funktion die Zerlegung an***), so ergiebt sich 
<l‘ (u) 
cp ( u ) 
^ £ (u — p v ) + 2) £ (m — q v ) + const. 
v = 1 
Um hier bequem integrieren zu können, setze man 
d log a u 
d u 
wobei noch die Integrationskonstante durch die Bedingung 
ff u 
hm — 
: f u, 
bestimmt werden soll. Die Gleichimg i7 ) ergiebt nun 
. , ff (u — q{) ff (u — q 2 ) ■ ■ ff (m — qr) 
Cp (ll) — c-e- r ; 2—- . 
ff (U — Pi) ff (M — J9 2 ) • • ff (U — pr) 
Hieran schliessen sich bekannte Entwickelimgen, aus denen noch folgt, dass die Grösse p l +j ?2 + •■ -j-pr 
— <Zi — q< 2 ,— • • — qr einer Periode 2 u o> + 2 pl <o‘ gleich sein muss. Ist diese Grösse gleich Null, so hat 
man G = o zu setzen. 
Damit ist also auch die Weierstrass’sche ff-Funktion in naturgemässer Weise eingeführt. 
*) Vergl. Herrn ite in Bd. 32 der Comptes Rendus, p. 449. 
**) Vergl. Hermite an der angeführten Steile. 
***) y er g[. z , [}. Halphen, Traitö des Fonctions Elliptiques, T. 1, p. 462. 
