[ 57 [ 
5. Soll die Funktion </> («) im Parallelogramm zweimal, bei x und — x, von erster Ordnung 
unendlich werden, so kann man von ihren Nullstellen die eine noch wählen. Bildet man nun zwei solche 
Funktionen von u durch die Ausdrücke 
er (u — y) ff (u -f- y) ff (n — z) ff (u -f- z) 
ff (u — x) a (u+x) ’ ff (w — x) ff (w + x ) 
rund zerlegt beide, so zeigt sich, dass zwischen ihnen eine lineare Relation besteht. Noch einfacher ergiebt 
sich dies so: Man bestimme in der Differenz 
ff (■ u — y) ff (u -)- y) q ff (u — z) o (n 4- z) 
ff (u — x) ff (u + x) ff (m — x) ff (u -+- x) ’ 
in der nur u als variabel angesehen werden soll, die Konstante G so, dass die Differenz nirgends un- 
endlich wird, dann muss nach dem Satze von Liouville die Differenz konstant sein. 
Es resultiert so die Formel 
ff (u — y ) a{u + y) ff (x — z) ff (x -f- z) = ff (x — y ) ff (x -+- y) ff (u — z) ff (u -f- z) 
4- ff (w — x) ff ( u -j- x) ff (y — z) ff (y -+- z). 
Herr Prof. Dr. F. Meyer giebt als Gast einen Beitrag „Zur Theorie der kettenbruch- 
ähnlichen Algorithmen“. 
Der von Euler*), wie es scheint, zuerst ausgesprochene Gedanke, den Algorithmus von Euclid (zur 
Bildung des gr. gern. Teilers zweier Zahlen)- auf mehrere Zahlen auszudehnen, und damit das Kettenbruch- 
Verfahren zu verallgemeinern, wurde erst von J acobi**) in weiterem Umfange wieder aufgenommen, den Sätze 
Hermite’s ***) dazu anregten. Der Verfasser — der zu den grundlegenden Ideen schon vor einer Reihe von 
Jahren gelangt ist, ohne damals die Jacobi’sche Arbeit zu kennen — hat im Folgenden Jacobi’s Theorie 
auf Grund zweckmässiger Bezeichnungen und Begriffe bedeutend vereinfacht und nicht unwesentlich weiter- 
geführt. In letzterer Hinsicht sei auf das von Jacobi bei Seite gelassene Näherungsverfahren hingewiesen, 
das in § 7 — 9 seine theoretische, wie practische Erledigung findet. Das Hauptresultat XVI (§ 9) darf 
wohl als ein elegantes und durchaus nicht auf der Oberfläche hegendes bezeichnet werden. Des leichteren 
Druckes halber ist die Beschränkung auf drei Zahlen festgehalten, imd nur in §§ 6 und 9 das für die 
Ausdehnung auf beliebig viele Zahlen Nothwendigste hinzugefügt. 
§ 1. 
Seien r 0> , r 1 , r 2 , wo r 0 > ry > r 2 ,f) drei positive ganze Zahlen. Ein erster Quotient qy gebe an, 
wie oft r-y in r 0 enthalten ist, ein zweiter Quotient wie oft r. 2 in r 0 — ry qy, so dass ein Schlussrest 
r 3 (<r 2 ) bleibt. Geschieht das Entsprechende mit den drei Zahlen r x , r 2 > ’' 3 > s0 entstehen zwei Quo- 
tienten q 2 , q 3 nebst einem Schlussreste r i « r 3 ) u. s. f. Bezeichnet man noch die negativ genommenen 
Quotientenpaare mit v v v 2 ', v 2 , vo etc.;ff) so findet der in Rede stehende Process seinen Ausdruck in 
dem Algorithmus , 
j r 0 + r l V 1 + r 2 v 2 = r 3’ r l + r 2 v 2 + p 3 v 3 = r 4> > 
| r n — 1 r n v n n - r n -(-1 v n 1 ” r n 2 > ’ 
wo stets r m O w _ r Sei r u der letzte der Reste r n , der nicht verschwindet; führt man noch zwei ver- 
schwindende „über le tzte“ Reste r u _|_ v r u , 2 e i n > so endet, der Algorithmus I mit den drei Gleichungen : 
*) Comment. Arit.hm. coli. 1849. Bd. II p. 99. 
**) Journ. f. Math. Bd. 69. Auf die von Bachmann, Hurwitz, Hilbert, Minkowski u. A. 
gegebenen Fortsetzungen einzugehen, erschien hier nicht erforderlich. 
***) Journ. f. Math. Bd. 40, vgl. auch Lionville’s Journal Bd. 14 und die Abhandlung: „Sur la 
fonction exponentielle“. Der von H. ausgesprochene Satz, man könne n (irrationale) Grössen, so durch 
n rationale Grössen mit gleichem Nenner N annähern, dass die bez. Abweichungen <C — - — werden, 
tritt hier in einer gewissen Modification auf (cf. § 9 XVI. Schluss). N \JN 
f) Die Festsetzung r 0 > r t > r 2 wird nur der Bequemlichkeit halber getroffen, 
ft) Hie vy , v 2 , v 3 , • • sind alle < 0, die v' 2 , v‘ 3 , ■ ■ ■ können teilweise oder sogar sämtlich 
gleich 0 sein. 
Schriften der Physikal. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XXXVIII. 
h 
