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r u — 3 J U — 2 2 * U — 1 — 1 *«’ — 2 — 1 v u — 1 ^ u v u r u -j- 1 ^ ’ 
r u - 1 + r u v u = »•« + 2 = 0 • 
Jeder gemeinsame Teiler von r 0 , r 1; r 2 geht im letzten Reste r w auf, und umgekehrt jeder 
Teiler von r n in r 0 , , ?•■> . r u ist also der grösste gemeinsame Teiler von r 0 , , r 2 . 
§ 2 . 
Substituiert man in I der Reihe nach die Ausdrücke für r 3 , r\, ■ ■ ■ jeweils in die nächstfolgende 
Gleichung, so wird jeder Rest m (n = 3) eine „lineare Combination“ der r 0 , r-y , r«: 
HI r n = r 0 A n + r x B n + r 2 G n (n = 3, 4, ■ ■ u, « + 1, u + 2), 
wo die A n , B n , C n ganz sind. Es empfiehlt sich, die Darstellung III auch für n = 0, 1, 2 zu bilden, 
so dass: 
lila A 0 = 1, R 0 = 0, C 0 = 0; = 0, ^ = 1, C x = 0; A ä = 0, B 2 = 0 , £ 2 = 1 . 
Schreibt man r n _j_ 2 einmal in der Gestalt III, das andere Mal gemäss I und ersetzt hier wieder 
die r n , r n _ y durch ihre Werte in III, und vergleicht die Coefficienten von r i (i — 0, 1, 2), 
so hat man das Recursionsgesetz für die A, B , C: 
A n v n — 1 A n — 1 ~ ^ ' r v n — 2 n — 2 — 3 > B n > 
Bezeichnet man die Determinante der rechts stehenden A, B , C mit 
(1) ( n — 3 , n — 2 , n — 1) , 
so liefert die Elimination der v n _ 1 , v n _ 2 aus IY : 
(2) ( n — 3 , n — 2 , n — 1) = (n — 2 , n — 1 , n), 
also mit Rücksicht auf III a: 
V (n , n + 1 , n -j- 2) = 1 . 
Es haben somit nicht nur die A n , B n , C n den gr. gern. Teiler Ems, sondern auch die zu irgend 
einer Zeile (oder Colonne) von V gehörigen Unterdeterminanten. 
§ 3. 
Wird jetzt im Besonderen angenommen, dass r 0 , r x , r o den gr. gern. Teiler Eins besitzen, so 
gehen die Formeln III für n — u , w-Rl, u -|- 2 über in : 
i r o Kt + r i Btt "+■ r 2 = 1 , r 0 A u _)_ ]_ + D B u i -+- r 2 C u _(_ 1 = 0 
j r o Ai -f 2 + r i B u + 2 + r 2 C u + 2 = 0 . 
A u , B u , r u die Unterdeterminanten von A u , B u , C u in {u , u + 1 , u -)- 2) , so folgt aus II a: 
r O = Kt - n = B u » r 2 = • 
Die Formeln II a, VI enthalten die Auflösung der homogenen diophantischen Gleichung: 
r 0 S- 1- ?) + r 2 f = 0 . 
Denn da nach II a {A u + l , B u + 1 , C u + 1 ), (A u + 2 , B u + 2 , C u + 2 )*) zwei Lösungssysteme 
von (3) sind, so bilden: 
*) Bedeuten a Xl b v c t die gr. gern. Teiler von resp. (r v r. 2 ), (r 2 , r 0 ), (r 0 , rj), so sind « t , b t , c t zu- 
gleich die gr. gern. Teiler von resp. (A u + 1 . A u + 2 ), {B u + 1 , B u + 2 ), (C u + L , C u + 2 ). 
II a 
Bedeuten 
VI 
( 3 ) 
